Linéaire B

. . . . . 2.3 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Équations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Équations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Équations différentielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Fonctions réelles de deux variables réelles . . .

matrices Addition des matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m et 1 j  n B  bij 1 i  m 1 j  n Alors A+B est une matrice de même type : A+B  aij  bij 1i  m 1 j  n Produit d’une matrice par un scalaire Soient A  aij 1 i  m et   K, alors A  aij 1 i  m 1 j  n 1 j  n Produits de matrices Soient A et B deux matrices de même type telles que : A  aij 1 i  m et 1 j  n B  bij 1i n 1 j  p Alors

: sos 6oo - Le triangle BCD est rectangle en D. DB 4 [}D_ B: lsx1o-3 1 BC- BC Donc BC 4 cos 60" = 8cm CD ^-- 13 ^-_ 13 -1 z3 1,3 0-5 le triangle BDC est rectangle en D. D'après le théorème de Py'thagore, B=15x10*3-(-s) 15 x 102 BC2 = BD2+ DC, - 82=CD?+42 CD2 : 64 * 16 = 48 Donc CD = VAB x 6,9 cm -at - B=1500=1,5x103 le triangle ABC est rectangle en B. D'après le théorème de Py'thagore, 3. C=slu+ tffi C=SVZx:+

supérieur au rythme naturel) et a provoqué une sélection des populations (variétés) au sein des espèces maths Systèmes de deux équations à deux inconnues. 1. Généralités. 1.1. Equation à deux inconnues du premier degré Définition: Soient a, b et c trois nombres réels donnés. Une équation du type , ou s'y ramenant, est une équation à deux inconnues du premier degré Exemple: est une équation à deux inconnues du premier degré. Définition: On appelle solution d'une équation à deux inconnues

plusieurs spécificités. Une masse est un scalaire, une vitesse un vecteur. Définition Si on considère, dans l’espace (ensemble de points), un couple de points (A ; B) sachant que A est l’origine et B l’extrémité. Par AB passe une droite δ appelée support des points (A ; B). La longueur (A ; B) est la norme. (A ; B) est opposé au sens de (B ; A) Il y a une équivalence : il existe une relation d’équivalence appelée équivalence. On dit que 2 points sont équivalents s’ils satisfont ces 3 conditions :

a) A = 1 0 1 2 b) A = Exercice 7 [ 01252 ] [correction] On considère la matrice b a  1 A= 0 0 1 Vérifier J.A.J = σ(A).J. Exercice 2 [ 01248 ] [correction] Pour i, j, k, ∈ {1, . . . , n}, on note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de Mn (K) d’indices (i, j) et (k, ). Calculer Ei,j × Ek, . a 0 Exercice 4 [ 01250 ] [correction] Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (K). Montrer que [ 00403 ] 1 A= 0 0 M= avec 0 d c b a et b + c Pour tout n 2, on note

ax +b : Y. Carassou Page 1 Etude_fonctions_exemples.doc Propriété : f ( x ) = ax + b , avec a ≠0où a et b sont deux réels donnés. Soit f la fonction affine x - Si a > 0 , alors la fonction f est croissante sur . - Si a < 0 , alors la fonction f est décroissante sur . Preuve : Si f(x) = ax + b, alors : f ’(x) = a Etc….. Nous avons alors les tableaux de variation suivants : - Si a < 0 x -∞ f ’(x) = a f(x) – donc si a 0 , x f ’(x) = a f(x) -∞ + +∞ Propriété : Règle du signe de ax+b Soit

la droite d'équation y = 0,5 x - 2 2. Déterminer par lecture graphique une équation de la droite D présentée dans le graphique ci-contre. Exercice 2 : ( 5 points ) 1. Déterminer une équation de la droite d1 passant par les points A ( - 2 ; - 3) et B ( 6 ; 3 ). 2. Déterminer une équation de la droite d2 passant par le point C ( 3 ; 7 ) et de vecteur directeur ⃗u 5 3 () Exercice 3: ( 4 points ) Soit d1 et d2 deux droites du plan définies par, d1 : y = 3 x – 8 ; d2 : y = -2 x + 5 Soit C( 4 ; - 5

primitives usuelles en « équilibrant » les coefficients, puis utiliser une forme connue de primitive : b b ∫ f (x) dx = [F(x) ]a = F(b) − F(a). a b b • Type u′eu Exercice 1 Calculer I1 = • Type u′ u u′ ( toujours en « équilibrant » les coefficients) qui donnera une primitive du type ln u si u(x) > 0. u ∫ 1 0 x e( x 2 + 2) dx Il faut se ramener à Exercice 2 a) Calculer J = b) Calculer I1 = á • Type u′uα x3 ∫0 5x 4 + 2 dx 1 1 2 ∫ π 2 0 2 cos (x) dx 1 + 2

• v ∈ E1 = Ker(f − Id) ⇔ ⇔ ⇔ . Donc E1 = Vect(v2 ) où v2 = (1, 0, 1). −8x − 5y + 8z = 0 x=z   x − z = −5y 8   4x + 4y − 7z = 0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0 3) Soit m 1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1 en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , Am