Logistique Inverse

La «fonction inverse» 1 Définition : la fonction inverse est la fonction x SQQT -- définie sur x Remarque : * 6 *. 4 = \ { 0 } = ]− ∞, 0 [ ∪ ]0, +∞ [ désigne l’ensemble de f -6 -4 -2 2 1 tous les nombres sauf zéro. Retenir : ---------- existe lorsque [ … ] ≠ 0 . […] 1 x0 0 M x 2 4 6 Propriétés : • Tableau de valeurs 2 5 10 1 x -2 vx = 1.4 x −10 −5 −2 −1 −0,5−0,1 −0,01 0 0,01 0,1 0,5 1 1⁄x • =0.71 -4 -6 La courbe de x SQQT

Page 2 sur 3 Seconde - Cours 07 - Fonctions de référence III) Fonction inverse : Définition 5 : La fonction inverse est définie sur » \ { 0 } par : elle associe son inverse. La fonction inverse n'est pas définie en 0. 1 Act : f ( −3) = − = − f ( 3) . En fait, quelque soit x dans » ∗ , on a : 3 f (−x) = − 1 = − f ( x ) ; donc : x f ( x) = 1 ; à tout nombre réel x non nul, x Propriété 2 : La fonction inverse est impaire : f ( − x ) = − f ( x ) . Dans un repère, sa courbe représentative

la longueur DC 16/(4+x)*4/2 64/(4+x)/2 32/(4+x) 32/(4+x)*DC 32/(4+x)*4 128/(4+x) cm3 (Tu prends le triangle rectangle ADP comme base et DC comme hauteur.) 3) tu connais la fonction usuelle inverse et tu sais qu'elle est décroissante Or ici , on a composé la fonction inverse et la fonction x+4 x                x+4             1/(x+4)    fct croissante              fct décroissante Or la composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante , est décroissante

on suit le contraire de la priorité des opérations. ◦ Fonctions homographiques 1. Le graphe de la fonction inverse. f : ℝ ℝ ; x  f  x= 1 x Porte le nom d'hyperbole. Les axes du repère séparent les branches de l'hyperbole. 1 Les axes portent le nom d'asymptotes: x = hozizontale; y = verticale de y= x L'origine du repère est le centre de l'hyperbole. La fonction inverse est paire. 2. Définition: On appelle fonction homographique toute fonction axb cx d a , b , c∈ℝ et c∈ℝ0 et

donné dans l’énoncé, il faut chercher le domaine (ou ensemble) de définition de la fonction à étudier. Ce peut être ℝ , un intervalle, ou une réunion d’intervalles. 1) Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont définies sur ℝ . 2) La fonction inverse est définie sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un dénominateur, celui-ci doit être NON NUL. En conséquence, les fonctions rationnelles sont définies pour toutes les valeurs qui n’annulent pas leur dénominateur. π  π 

CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES 1 Définition et représentation graphique de la fonction logarithme népérien 1. Définition 1 -- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet x donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ . La fonction inverse x La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur 1 -- qui s’annule en 1. ]0 ; + ∞ [ , de la fonction x x 2. Conséquences • La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante

: Admis • Les fonctions polynômes sont continues sur R. 1 est continue sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[ x • La fonction valeur absolue x → | x | est continue sur R. √ • La fonction racine carrée x → x est continue sur [0; +∞[ • La fonction inverse x → • Les fonctions x → sin x et x → cos x sont continues sur R • D’une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par composition à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de définition, en particulier

utilité est la même que sa réciproque x², sauf que celle-ci évolue dans un lapse de temps très long, donc l’évolution est très lente. Caractéristiques : Domf=R+, Imf=R-, f est croissante et elle n’est ni paire, ni impaire. d) Fonctions inverse. La fonction inverse est une fonction assez complexe puisqu’elle est composée de deux parties. Dans cette partie je vais parler d’elle moins en profondeur car j’y reviendrais par la suite. Son expression analytique est la suivante :fx=1x La fonction ne sera

Fonctions usuelles Opérations sur les fonctions Opérations et limites fonction inverse exemple : distance focale f d’une lentille 1 association de deux lentilles : f = f1 + f1 1 2 Propriétés de la fonction inverse : 1 • la fonction x → x a pour dom. de déf. R∗ . Elle est continue sur R−∗ et elle est continue sur R+∗ ; elle n’est pas continue sur R car elle n’est pas définie en 0. • sym. : la fnct inverse est impaire • variations : strict. décroissante sur R−∗ , strict. décroissante

cube d´finie sur R par f : x → x3 . e e f est une fonction d´rivable sur R qui admet pour fonction d´riv´e f : x → e e e 3x2 . 2 2.6 La d´riv´e de la fonction inverse e e 1 . x f est une fonction d´rivable sur R qui admet pour fonction d´riv´e f : x → e e e 1 − 2. x Soit f la fonction r´elle inverse d´finie sur R par f : x → e e 2.7 La d´riv´e de la fonction racine carr´e e e e √ Soit f la fonction r´elle racine carr´e d´finie sur R+ par f : x → x. e e e