Loi de Bernoulli

fluides…………………………………………… 25 Ecoulement permanent d’un fluide parfait……………………. 25 Théorème de Bernoulli………………………………………... 26 Phénomène de Venturi………………………………………… 27 La viscosité……………………………………………………. 28 La loi de Poiseuille…………………………………………….. 30 Le nombre de Reynolds………………………………………...31 Eléments de physique nucléaire et atomique Rappels sur la structure de l’atome…………………………..... 34 La radioactivité…………………………………………………36 La loi de décroissance radioactive…………………………….. 39 L’activité……………………………………………………..... 41

martingales. En cons´quence, le pr´requis pour la lecture de ce livre est l´ger : maˆ e e e ıtrise des notions de s´rie et d’int´grale et du calcul matriciel. Et l’accent est mis sur les noe e tions centrales en probabilit´s et statistique que sont la loi, l’ind´pendance, l’esp´rance, e e e la variance, la fonction caract´ristique, les convergences, l’estimateur du maximum de e vraisemblance, les intervalles de confiance et les tests d’hypoth`ses plutˆt que sur les fone o dements th´oriques de ces disciplines

Notations : – X = (X1 , . . . , Xp ) : variable aléatoire explicative de dimension p, x = (x1 , . . . , xp ) une réalisation de x ; – Y variable (univariée) à expliquer. – (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) : un n-échantillon aléatoire (iid et de même loi que le couple (X, Y )), tel que Xi = (Xi1 , . . . , Xip ) ; – (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) une réalisation de (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ). 1.1 Rappels sur le modèle linéaire Le contexte Nous cherchons à expliquer une variable Y par p variables

Note : Lorsque la base n’est pas indiquée, on prend pour acquis que celle-ci est 10. Par conséquent, si un calculateur du XVIIe siècle désire effectuer une multiplication de deux nombres, prenons par exemple 78 et 56, il n’a qu’à appliquer la loi des logarithmes ci-dessus pour simplifier ses calculs et à utiliser les tables des logarithmes de Napier. Ces tables indiquent les valeurs de nombreux logarithmes et il suffit pour le calculateur de retrouver les valeurs de ceux qui l’intéressent

• Deux événements A et B sont dits incompatibles si A ∩ B = ∅. • Si Ω = {e1 , e2 , · · · , en } et si à chaque résultat possible ei on associe un nombre p(ei ) tel que 0 p(ei ) 1 et p(e1 ) + p(e2 ) + · · · + p(en ) = 1, on dit que l’on a défini une loi de probabilité sur Ω. • La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. Pour tous événements A et B : • p (∅) = 0 ; p (Ω) = 1 • 0 p(A) 1 ; p A = 1 − p(A) ; p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩

comportement du système à partir de l’étude de la loi de valve : 11_Pour un braquage avec angle de torsion positif : Indiquer en surlignant en différentes couleurs, les différentes zones de fonctionnement correspondant au tableau ci-dessous. 12_ compléter le tableau : Zone : A B Niveau d’assistance : Plages de pression dans le vérin : ∆P = PB-PA Position valve : Assistance nulle ∆P = 0 Assistance variable 0< ∆P >>C1 332_ monter grâce à la relation de Bernoulli et en admettant l’hypothèse ci-dessus que

aléatoire qui prend la valeur 0 si la face obtenue est paire, et la valeur 1 sinon. Déterminer la loi de probabilité de X. 2-Soit Ω = {w1, w2, w3, w4, w5} un ensemble fini, muni d’une probabilité P définie par : P ({w1}) = 1 3 ; P ({w2}) = P ({w3}) = 1 4 ; P ({w4}) = P ({w5}) = 1 12 . On cosnidère la variable aléatoire X définie par : X(w1) = X(w5) = 0; X(w2) = X(w4) = 1; X(w3) = 2. Déterminer la loi de probabilité de X. 3-Soit X la variable aléatoire définie par le tableau suivant : xi 1 3 5 7 9

fois où Stéphane entend le réveil sonner. La variable aléatoire X est régie par un schéma de Bernoulli. En effet, • 5 expériences identiques et indépendantes sont effectuées ; • chaque expérience a deux issues : « Stéphane entend le réveil sonner » avec une probabilité p = p(R) = 0, 9 et « Stéphane n’entend pas le réveil sonner » avec une probabilité 1 − p = p(R) = 0, 1. La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0, 9. La probabilité demandée est p(X p(X 4) et on

Rappel sur les manipulations de 2.2.2 D´finition . . . . . . . . . . . . e 2.2.3 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 2.2.4 Lois discr`tes usuelles . . . . . . e 2.2.5 Loi marginale . . . . . . . . . . 2.3 Esp´rance et variance . . . . . . . . . . e 2.3.1 Esp´rance . . . . . . . . . . . . e 2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi et esp´rance conditionnelles . . . . e 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3 Variables al´atoires ` densit´

domaine, en 1752, Benjamin Franklin démontre que la foudre est un phénomène dû à l'électricité et invente le paratonnerre pour s'en protéger. En 1785, Charles de Coulomb présente un deuxième mémoire à l'Académie des sciences, dans lequel il expose la loi selon laquelle les corps chargés électriquement interagissent. L’électricité va se donner en spectacle au cours de ce siècle et ainsi se démocratiser, voir se vulgariser. Le peuple s’y intéresse et on instaure même des spectacles qui utilisent des