Loi de Bernoulli

convexe sur cet intervalle. C’est la réponse d. 2 1 C 0 −2 1 0 −1 2 3 4 T 3. La valeur ne peut être un nombre décimal, n est un entier naturel. En programmant cet algorithme, on trouve n = 8. C’est la réponse c. 4. X suit une loi uniforme sur [0 ; 5], l’espérance du loi uniforme sur [a ; b] vaut : E(X ) = C’est la réponse c. a +b 0+5 5 = = . 2 2 2 E XERCICE 2 Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L 5 points Partie A 1. L’intervalle de confiance au niveau de

. . . . 6.2 Les variables aléatoires à valeurs entières. . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Transformée de Laplace d’une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . Appendice 1: Grandes déviations Appendice 2: Convergence des lois binomiales vers la loi de Poisson i 7 8 TABLE DES MATIÈRES 9 Appendice 3: Annales des problèmes de probabilités de Deug et de licence 59 ii www.L es-M athematiques.net Chapitre 1 L’espace de probabilités (Ω,A,P ) Par Gérard Letac 1.1 Introduction

variable X, on obtient ainsi une valeur xi. On est donc en présence de deux échantillons aléatoires : • • En={ω1, ..., ωn} Ω ⊂ et X(En)={x1, ..., xn} ⊂ X(Ω) On peut considérer que pour chaque tirage i (1≤ i ≤ n),on a une variable aléatoire Xi de même loi (distribution) de probabilité que X. En n tirages, on définit une variable aléatoire (X1,...,Xn) à n dimensions que l'on appelle échantillon aléatoire de taille n associé à X . Si les variable aléatoires composantes X1,...,Xn sont indépendantes, on

idéal non visqueux (relation de Bernoulli) Toute l’énergie potentielle gagnée par la descente de l’eau est convertie en 1 énergie cinétique, soit mV 2 ( t ) = mgH ( t ) où m est la masse qui s’écoule 2 entre les instants t et t + dt . On a donc (2) V(t) V ( t ) = 2 gH ( t ) , résultat peu intuitif : le flux sortant n’est donc pas proportionnel à la différence de pression mais à la racine de cette différence2. c. Vérification expérimentale de la loi (2) V(t) L’écoulement libre

.......... Lois de probabilités classiques en statistique................................. Loi normale unidimensionnelle.................................................................. Loi du khi-deux ............................................................................................ Loi de Student.............................................................................................. Loi de Fisher-Snedecor.........................................................................

population et l’on cherche à en déduire des propriétés pour la population toute entière. Les variables statistiques qui décrivent la population peuvent être considérées comme des variables aléatoires dont la répartition est caractérisée par une loi de probabilité. Échantillonnage On sélectionne un échantillon de taille par tirage au sort de la population. On détermine les intervalles de fluctuation à partir des informations connues ou supposées dans la population (soit on connaît la

............................................................................................15 I- Loi normale :....................................................................................................................................15 1- Définition :...................................................................................................................................15 2- Loi normale centrée réelle : .........................................................................

aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1 €). a. Déterminer la loi de probabilité de X. N2 R2 R1 4 5 N2 R2 www.bac-de-maths.fr - Le partenaire de votre réussite ! Bac S de maths 2008 - Métropole septembre Corrigé de l’exercice 1 Le joueur ayant misé 1€, les valeurs de son gain net sont 9, 1 et −1. Grâce aux résultats précédents on peut construire le tableau de la loi de X, directement : Valeurs de X Probabilité 9 0,02 1 0,17 −1 0,81 9 9 × = 0, 81 (Probabilité

Probabilit´s conditionnelles . . . . . . . . . e 3 Variable al´atoire discr`te e e 3.1 Variable al´atoire . . . . . . . . . . . e 3.1.1 D´finition g´n´rale . . . . . . e e e 3.1.2 Variables al´atoires discr`tes e e 3.1.3 Variables al´atoires continues e 3.2 Loi d’une variable al´atoire discr`te . e e 3.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . e 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 6 . 6 . 6 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 8 . 8 . 8 . 9 . 11 13 13 14 14 15 17 18 23 23 23 23 24 24 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Loi de Poisson - Approximation d’une loi binomiale . . 2.4.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Approximation d’une loi binomiale par une loi 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .