Loi de Bernoulli

n est convergente et on a lim q n = 0. n →+∞ z Si q ≤ −1 alors la suite de terme général q n est divergente et n’a pas de limite. Propriété préliminaire Inégalité de Bernoulli Pour tout réel x positif et pour tout entier naturel n, on a : (1+ x )n ≥ 1+ nx .  Démonstration de l’inégalité de Bernoulli a Soit x un réel positif, démontrons par récurrence que la proposition (1+ x )n ≥ 1+ nx est vraie pour tout n ∈». Initialisation : on a (1+ x )0 = 1 et 1+ 0 × x = 1 donc

3 II- LE MODELE DE L’ UTILITE ESPEREE A- Utilité ordinale et utilité cardinale C’est à Daniel Bernoulli que l’on doit l’origine du concept « utilité » en incertitude. Historiquement, la notion d’utilité en économie est née de discussions concernant la source de la valeur. Par « source de la valeur » il faut entendre les raisons pour lesquelles les

lois continues 1- La loi normale ou la loi de Laplace-Gauss 1-1- La loi normale centrée réduite Une gaussienne est une variable aléatoire qui peut prendre toute valeur réelle et dont la densité de probabilité est donnée par : 𝑓 𝑥 = 1 2𝜋 exp ( −𝑥2 2 ) ∀𝑥 ∈ ℝ. où : 𝜋 ≅ 3,14159 et 𝑒𝑥𝑝 = 𝑒 ≅ 2,71828 Définition: Pr. Abdessamad OUCHEN, ENCG Fès, USMBA Fès 11 La fonction de répartition d’une loi normale centrée réduite

(sans unité, compris entre 0 et 1) N : force normale (N) Ff (N) Coefficients de frottement statique et dynamique Lois de Newton Si pas de force résultante, MRU ou immobile. 1ère loi 2ème loi 3 ème Action = Réaction ; sens opposés ; agissent sur des corps différents loi Impulsion m : masse du corps (kg) a : accélération (m/s2) F (N) p (kg.m/s) p : impulsion (kg.m/s) m : masse (kg) v : vitesse (m/s) 1 Conservation de l’impulsion, mais pas

couleur différente. Partie B :Le joueur gagne 5 euros s'il obtient une face noire et perd un euro s'il obtient une face blanche . Il lance toujours deux fois le dé. On considère X la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenue 1) Déterminer la loi de probabilité de X 2) Quel est le gain moyen de ce jeu? Exercice 6: QCM sur 5 points Donne sans justification la bonne réponse. Une seule par question. Sur la copie, on indiquera le numéro de la question et la lettre de la réponse. Question 1) Si

allant de 0 a 50. 2 Figure 1 { Nombre de sinistres en fonction du temps entre t=0 et t=50 Nous savons que si les inter-arrivees Ei suivent une loi exponentielle de parametre  alors le processus de comptage N(t) suit un processus de poisson de parametre t   Nous allons donc tester si les inter-arrivees peuvent ^etre modelisees par une loi ex- penentielle. Dans un premier temps nous devons trouver le parametre . Or nous savons que si X  () : E(X) = 1  On peut donc estimer 

domaine, en 1752, Benjamin Franklin démontre que la foudre est un phénomène dû à l'électricité et invente le paratonnerre pour s'en protéger. En 1785, Charles de Coulomb présente un deuxième mémoire à l'Académie des sciences, dans lequel il expose la loi selon laquelle les corps chargés électriquement interagissent. L’électricité va se donner en spectacle au cours de ce siècle et ainsi se démocratiser, voir se vulgariser. Le peuple s’y intéresse et on instaure même des spectacles qui utilisent

Les déformations dues aux charges sont négligeables par rapport aux dimensions des composants étudiés. • Hypothèse de Navier-Bernoulli (hypothèse des sections planes) : les sections droites restent planes et normales à la fibre moyenne au cours de la déformation. • Hypothèse de Saint Venant : Les contraintes (et par suite les déformations qui leur sont liées par la loi de Hooke), dans une région éloignée des points d’application d’un système de forces, ne dépendent que de la résultante générale

l’échantillon de n pièces, et Fn = la proportion corresn pondante. 2. a. Justifier que la variable aléatoire Xn suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. Vérifions les hypothèses de validation d’un loi binomiale : • Une pièce a 2 états : elle a un défaut ou elle n’en a pas. La probabilité d’être conforme est donc : p = PA D = 90% = 0, 9 et Xn suit une loi de Bernoulli de paramètre p • Les n pièces sont choisies au hasard, les tirages sont aléatoires ; • Les tirages sont indépendants et identiques

l’expérimentation Que signifie « perception des risques » dans un processus décisionnel d’entreprise? NLP Communication model 5 1- La diversité des approches sur la perception du risque Approche axiomatique: la théorie de l’utilité espérée Daniel Bernoulli (théorie de l’UE,1738) Critère de décision rationnelle face à l’incertain: max UE des gains (jeux de hasard), probabilités et conséquences des évènements supposées objectives. Von Neumann et Morgenstern (1944): entrée officielle du critère d’UE