Loi exponentielle

(Voir TD ) 3.6. Mod`les probabilistes continue e Dans tout ce chapitre, X d´signe une v.a.r. absolument continue. On note f sa densit´ de e e probabilit´ et F sa fonction de r´partition. e e 3.6.1. Loi uniforme Definition: Soit a, b ∈ R avec a < b. On dit que X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a, b] si sa densit´ f e est d´finie par e  1  si a ≤ x ≤ b  b−a fX (x) =   0 si sinon On note en abr´g´ X ∼ U([a, b]) e e Remarque: On a bien +∞ f (x)dx = −∞ 1 b−a b

et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé ( , A, P ). On rappelle que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité : (Z > k) = (X > k)  (Y > k). a) Pour tout entier naturel k, calculer P(Z > k). b) Établir que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 1, on a : P(Z = k) = P(Z > k – 1) – P(Z > k). c) En déduire que Z suit la loi géométrique de paramètre (1 –

− q yj )yj+1 (q yj )xj −yj+1 yj+1 C’est en 1949 que Bartlett propose ce qui sera le modèle épidémiologique standard. Au temps initial, la population se compose de m infectés et n susceptibles. Chaque infecté a une période de contagion qui suit une loi I (moyenne i variance σ 2 ) indépendante de celle des autres. Et pendant cette période il rencontre un autre individu donné suivant les instants de saut d’un processus de Poisson d’intensité λ/n. Tous ces processus sont indépendants entre eux et des

est décrite à l’aide d’un processus stochastique de comptage. Ce processus suit une loi de probabilités décrivant l’inter arrivées des clients. En général, ce processus suit une loi de poisson ʎ. b- Temps de service : Le temps de service d’un client est le temps séparant le début et la fin de service de ce client. Ce temps, de sa part, suit une loi de probabilités qui est, en général, une loi exponentielle µ. c- Nombre de serveurs : Le cas le plus simple est le cas d’un seul serveur

espace probabilisé ( Ω , A, P) que l'on ne cherchera pas à préciser. 1) Loi de Tn . a) Pour tout k de 1, n − 1 , déterminer, en distinguant le cas k = 1 , la probabilité P (Tn = k ) . b) Déterminer P (Tn = n) . c) Vérifier que n ∑ P(T n = k) = 1. k =1 d) Établir que Tn possède une espérance et vérifier que E (Tn ) = 2/4 1 − qn . 1− q 2) Loi de X n . a) Donner la loi de X n . b) Vérifier que E ( X n ) = 1 − q n . 3) Loi de Yn . a) Déterminer, pour tout k de 0, n − 1 , la probabilité P (Yn

ci-contre a les fiabilités élémentaires suivantes pour 1000 heures : Ra=0,90 ; Rb=Rc=0,81 ; Rd=Re=Rf=0,66 ; Rg=0,93 Calculer la fiabilité et le taux de défaillance de l’ensemble. Exercice 2 : Deux chariots travaillent en redondance active. Leur loi de durée de vie est du type. La MTBF d’un chariot est de 54 heures. Quelle est la fiabilité du système au bout de 16 heures ? Exercice 3 : Sur une série de 150 nouveaux capteurs mis en fonctionnement, on a relevé les TBF suivants : Intervalle de

 Théories sur la croissance des populations 1.1.3.1. Définitions de quelques termes Une population : un groupe d’organismes, généralement de la même espèces, occupant une aire définie suffisamment close pour permettre des croisements génétiques selon la loi du hasard. Exemple la population de tilapias (Oreochromis niloticus) de la du barrage de Bagré (Burkina Faso). Les populations ont des caractéristiques qu’un individu n’a pas ; parmi ces caractéristiques on peut citer : la densité, c’est à dire un

ci-contre a les fiabilités élémentaires suivantes pour 1000 heures : Ra=0,90 ; Rb=Rc=0,81 ; Rd=Re=Rf=0,66 ; Rg=0,93 Calculer la fiabilité et le taux de défaillance de l’ensemble. Exercice 2 : Deux chariots travaillent en redondance active. Leur loi de durée de vie est du type. La MTBF d’un chariot est de 54 heures. Quelle est la fiabilité du système au bout de 16 heures ? Exercice 3 : Sur une série de 150 nouveaux capteurs mis en fonctionnement, on a relevé les TBF suivants : Intervalle de

tourisme puisque le nombre de nuitées des touristes profite à l’économie du territoire. Le point de départ des arrivées touristiques est 1960 avec l’émergence du tourisme de masse et l’avènement des tours operateurs. Toutefois la croissance exponentielle à connu des ralentissements de 1974 à 1976 dû aux crises pétrolières et aux guerres (guerre du golfe). La deuxième période est comprise entre le début des années 80 et 90 (tourisme familial) et enfin la troisième période débuté en 1994 avec le

iii. f est continue sur ]0; +1[. 2. Montrer que l’ équation F (x) = 1 admet une solution unique sur 2 ]0; +1[. Cet unique réel, que l’ notera m, sera appelé médiane de X. on 3. Dans cette question, on suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre 1. Montrer que X satisfait aux hypothèses du début de l’ exercice et déterminer la médiane de X. 4. On suppose dans cette question que la densité de X est donnée sur [0; +1[ par f (t) = t e t et sur ] 1; 0[ par f (t) = 0. (a)