Loi exponentielle

A (N ) = = ≈ 0,9969 P (A) 0,8763 Partie B On considère que la vie d’une peluche se termine lorsqu’elle subit un dommage majeur. On admet que la durée de vie en années d’une peluche, notée D, suit une loi exponentielle de paramètre λ. 1. On sait que P (D 4) = 0,5. Si D suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors P (D Donc P (D a a) = −∞ λe−λt dt = 1 − e−λa . 4) = 0,5 ⇐⇒ 1 − e−4λ = 0,5 ⇐⇒ 0,5 = e−4λ ⇐⇒ ln 0,5 = −4λ ⇐⇒ λ = − ln 0,5 4 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 2. On prendra ici

. . . 6.2 La distribution uniforme entre 0 et 1 (suite) . . . 6.3 Π et le quart de cercle . . . . . . . . . . . . . . . 4 6.4 Tirage al´atoire sur la sph`re . . . . . . . . . . . e e 6.5 M´thode de simulation directe . . . . . . . . . . . e 6.5.1 Loi uniforme sur [a, b] . . . . . . . . . . . . 6.5.2 M´thode directe (ou m´thode d’inversion) e e 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e prenant en charge le param`tre suppl´mentaire nombre de points fixes. e e Finalement, comme nous a fait remarquer Knuth, il existe une similitude entre notre mod`le et un probl`me de g´n´ration de variables e e e e al´atoires de distribution exponentielle ´tudi´ par von Neumann, dont e e e une g´n´ralisation est d´crite par Knuth [5]. Le lien entre notre mod`le et e e e e le probl`me de von Neumann est ´tabli au moyen d’un codage classique e e des permutations dˆ ` Lehmer. ua 2. Le probl`me des

d’un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre A où X est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout t ( 0, P(X ( t) = [pic]. La fonction R définie sur l’intervalle [0 ; +([ par R(t) = P(X > t) est appelée fonction de fiabilité. 1. Restitution organisée de connaissances a. Démontrer que pour tout t ( 0 on a R(t) = e-(t. b. Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire que pour tout réel

faire une enchère haute qui augmentera sa probabilité de remporter le bien et une enchère basse qui minimisera le prix qu’il payera si il remporte le bien. Chaque joueur i a une évaluation vi pour le bien. Les vi sont iid et distribués selon une loi exponentielle de paramètre p, de densité f() et de fonction de répartition F(). La distribution des vi est connaissance commune, mais les enchérisseurs ne connaissent que la réalisation de leur propre évaluation. fx=0, &x<0p*exp⁡(-px), &x≥0

(2.20 po)2 = 0.3427 po2 . Num´ ero 2. La densit´e de la loi du khi-deux `a k degr´es de libert´e est donn´e par { k 1 −1 −x/2 2 e si x > 0 k/2 Γ(k/2) x 2 fk (x) = 0 si x ≤ 0. En ´etudiant le comportement de la d´eriv´ee de la fonction fk (x), on note que (i) f1 (x) est strictement d´ecroissante et limx→0+ fk (x) = ∞ ; (ii) f2 (x) est strictement d´ecroissante et limx→0+ fk (x) = 1/2 ; en fait, f2 (x) est simplement la loi exponentielle avec param`etre λ = 1/2 ; (iii) si k > 2, alors fk (x) est

11 | 103 000 | 5 | Cela nous permet de sortir le graphique suivant qui place l’ensemble des véhicules en fonction de ces 2 valeurs : Nous observons que la majorité des véhicules du parc suit une courbe de tendance équivalente à une loi exponentielle, loi régissant l’apparition des défaillances. Seul le véhicule n°8 apparaît clairement comme à part. Calculer le taux de défaillance ; le MTBF/ Lambda échantillon ; Lambda véhicule particulier Lambda Formule λ = nombre de défaillances total

1] par f (x) = x +m où m est une constante réelle. Question 3 : f est une densité de probabilité sur l’intervalle [0 ; 1] lorsque 1 1 d. m = e−1 c. m = e 2 a. m = −1 b. m = 2 C. La durée de vie en années d’un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre 0, 2. Question 4 : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est 1 1 1 1 a. 1 − b. c. d. (e − 1) e e 5e 0, 2 Baccalauréat S E XERCICE 3 5 points Candidats ayant suivi

variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0). On note F sa fonction de répartition. On pose X1 = ⎣ X ⎦ , X2 = ⎣ 10( X − X 1 )⎦ et l’on admet que X1 et X2 sont des variables aléatoires définies elles aussi sur (Ω, A, P). 1) a) Déterminer X1(Ω). b) Pour tout k de X1(Ω), exprimer P(X1 = k) à l’aide de F. c) En déduire que X1 + 1 suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre. d) Déterminer E(X1) en fonction de λ

MOHAMED KHIDER BISKRA FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES Mémoire présenté en vue de l�obtention du Diplôme : MASTER en Mathématiques Option : Statistique Par CHENINI Manal Titre : Loi exponentielle et processus de Poisson homogéne Membres du Comité d�Examen : Dr. BENELMIR Imen UMKB Président Dr. DJABER Ibtissem UMKB Encadreur Dr. OUANOUGHI Yasmina UMKB Examinateur September 2020Dédicace À ma petite famille, chers parents et frères. À chaque