Loi exponentielle

= exp - ∫ Z. Cherfi λ(t) dt 18 Cas particulier • λ(t) = λ= constante • Dans ce cas là – R(t) = exp-λt – F(t) = 1- [exp-λt] • On reconnaît la fonction de répartition de la loi exponentielle • La zone B correspond à la période de vie utile, à un λ constant et à une modélisation par la loi exponentielle. Z. Cherfi 19 MTBF, MTTF • MTTF (Mean Time To Failure): c ’est la moyenne de la distribution des durées de vie (c ’est la durée de vie moyenne de tout équipement de la population

remplacer les séances de cours en présentiel) TABLE DES MATIERES I- INTRODUCTION ........................................................................................................ 1 II- LOI DES ARRIVEES .................................................................................................3 III- LOI DE SERVICE ......................................................................................................3 IV- LE SYSTEME D’ATTENTE M/M/1/∞ ....................................

allant de 0 a 50. 2 Figure 1 { Nombre de sinistres en fonction du temps entre t=0 et t=50 Nous savons que si les inter-arrivees Ei suivent une loi exponentielle de parametre  alors le processus de comptage N(t) suit un processus de poisson de parametre t   Nous allons donc tester si les inter-arrivees peuvent ^etre modelisees par une loi ex- penentielle. Dans un premier temps nous devons trouver le parametre . Or nous savons que si X  () : E(X) = 1  On peut donc estimer 

FX est croissante sur R. 2. lim F (x) = 0 et lim FX (x) = 1. x→−∞ x→+∞ 3. FX continue en tout point de R. 4. En tout réel x0 où f est continue, F est dérivable et F (x0 ) = f (x0 ) Admis Remarque : Quelle tribu choisir pour étudier une loi de probabilité continue ? La tribu formée des parties de R est très importante, trop ... On peut se donner comme tribu la tribu Borélienne (1898) qui est la tribu engendrée par les intervalles ouverts et on peut même se restreindre aux intervalles

comment estimer des probabilités d'événements qui ne sont que très rarement observés ? dont on ne connaît pas la loi de distribution Méthodes: VaR historique : quantile de l'échantillon encore faut il avoir suffisamment de données …. Modélisations/Estimation paramétriques VaR normale, pb: ne tient pas compte des queues épaisses distributions à queues épaisses: t-student, exponentielle, hyperbolique, … Modélisations/Estimation non paramétriques estimation des exposants de queues Approximations

2009. Ce tableau de bord sera désormais publié chaque trimestre. « Malgré la conjoncture, nous sommes dans une dynamique de forte croissance des énergies renouvelables, et même dans une croissance exponentielle pour le solaire. Et cela se traduit par des investissements industriels. Le projet de loi « Coco chaud 2 » qui sera examiné prochainement par le Sénat est crucial pour conforter cette dynamique, car c’est avec le « Coco chaud » que l’on va supprimer les derniers freins au développement des

Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 1 / 28 Sommaire 1 Loi d’une v.a. continue 2 Fonction de répartition 3 Moments d’une v.a. continue 4 Quelques lois usuelles continues 5 Loi uniforme 6 Loi normale 7 Loi exponentielle I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 2 / 28 Loi d’une v.a. continue Loi d’une v.a. continue I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 3 / 28 Loi d’une v.a. continue Soit X une variable aléatoire dont les valeurs possibles

Révisions Bac S - Fiche n°1 1.1. Résoudre dans c l'équation 4z² + 3 = 0 . Donner les solutions sous forme algébrique et exponentielle. 1.2. Soit la suite (un) définie par un u0 = 1 et un+1 = , pour tout n de n. 1 + un a. Déterminer ses cinq premiers termes, puis faire une conjecture sur l'expression du terme général de la suite (un) . 1 b. On suppose un ≠ 0 pour tout n de n et on pose vn = . un Montrer que la suite (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

d’enseignement de la Gestion des Opérations et de la Logistique, HEC Montréal 2. Une usine de fabrication de jouets en bois a un atelier de peinture spécialisé. Cet atelier reçoit 2 jouets à l'heure selon une loi de Poisson. En moyenne, l'application de la peinture dure 20 minutes selon une loi exponentielle. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) Quelle est la valeur de λ? Quelle est la valeur de μ? Quelle est la valeur de s? Calculer le temps moyen entre les arrivées Calculer

autocorrélation faible implique que notre échantillon est presque indépendant, le phénomène périodique a donc été éliminé. Question 4 : Représentation des lois Remarque : on trace l’histogramme de B dès maintenant, pour trouver les paramètres de chaque loi qui se rapprochera le plus de la densité que l’on cherche. | | |x=c(1:16790)