Marche aléatoire

calcule la trace de A if size(A,1)==size(A,2) t=trace(A); % méthode rapide t=sum(diag(A)); % méthode plus pédestre else t=-1; end 2. Générer une matrice aléatoire de dimension 10 × 10 ; % matrice aléatoire de dimension 10*2 à valeurs entre 0 et 1 B=randn(10,2); % matrice aléatoire de dimension 10*10 à valeurs entre 0 et 1 C=rand(10,10); % matrice aléatoire de dimension 10*10 à valeurs entre 0 et 10 D=round(rand(10,10)*10); 3. Calculer la trace de cette matrice, de sa transposée et de son inverse. t0=matrace(B)

, donc : P(E3) = 1 – P(E2) = 1 – 0,0347 = 0,9653 B – Loi binomiale D : une composition florale prélevée au hasard est défectueuse P(D) = 0,025 On prélève au hasard 12 compositions florales (assimilé à un tirage avec remise) X est la variable aléatoire, qui, à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de compositions qui sont défectueuses. 1. On effectue un prélèvement 12 fois de suite, les épreuves sont indépendantes 2 à 2 et il y a 2 issues : La composition est défectueuse p = 0,025 ou

sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. On appelle gain du joueur la différence , à l'issue des 2 tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut être positif ou négatif) . On désigne par X la variable aléatoire égale au gain du joueur. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Déterminer la loi de probabilité de X . c) Calculer l'espérance de X . Correction Partie A: 1. L'univers est l'ensemble des combinaisons de 2 boules parmi n+8. Il y

de boules R), E(X) est du signe du trinôme 20  20  −2 ( 3n 2 + 7n − 180 ) = −2 ( 3n 2 + 7n − 180 ) = −2  n −  ( n + 9 ) qui est positif pour 0 < n < (donc au plus 6 boules R). 3  3  2. Si Y désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de boules rouge à chaque tirage, Y suit une loi binomiale de B(20, p = n ). n + 10 On cherche n tel que P(Y ≥ 1) ≥ 0,999 ⇔ 1 − P(Y = 0) ≥ 0,999 ⇔ P(Y = 0) ≤ 0, 001 . Mais P(Y = 0) =   10    n + 10  20 1 n>0 ր 10

z = r ( cos argz + isin argz )S Exemple : La forme trigonométrique de est : Dérivée Fonctions usuelles : Propabilités Espérance mathématique de la variable aléatoire = E(x) = p( x =x1 ) . x1 + ....... + p ( x=xn ) . xn Variance de la variable aléatoire = V(x) = p( x=x1 ) . ( E(x) - x1 ) ² + ........+ p ( x = xn ) . ( E(x) - xn )² L'écarte-type =

les paramètres : Y = aX+b * Modèle aléatoire : terme d’erreur intégré : Y = aX + b + Ԑ 1. Présentation – spécification et hypothèses du modèle Yt = aXt + b + Ԑt avec t = 1, 2….,N Ԑt est un terme aléatoire (terme d’erreur ou perturbation). Il y a N observations sur Y et X Hypothèse sur Y et X  * X est observé sans erreur (certaine, donnée), indépendante de Ԑt * Y est une variable aléatoire par l’intermédiaire de Ԑt, terme aléatoire. Hypothèses sur Ԑt (hypothèses stochastiques)

moins un des deux collyres » fait référence au OU inclusif, c'est-à-dire P ( A ∪ B ) . On utilise la formule : P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = 0.05 + 0.10 – 0.005 = 0.145 Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès p =0.10), soit ce

Par conséquent, qn = 0.35 × ( −0.6 )n −1 et comme pn = qn + 0,4, on a pn = 0.4 + 0.35 × ( −0.6 )n −1 . c. On a alors p6 = 0.4 + 0.35 × ( −0.6 )5 ≈ 0.373 arrondi au millième (cohérent avec l’énoncé de la partie 2 !). PARTIE 2 Notons X la variable aléatoire qui désigne le nombre de déplacement du service durant ce mois. Les interventions dans les différentes entreprises étant supposées indépendantes, X suit une loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 0.373. Ainsi, p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 ) = 1 −

3. Si Motus choisit les croquettes, il boit 1 litre d’eau après son repas, s’il choisit la soupe il ne boit que ½ litre d’eau. On note la quantité d’eau bue par le chien après ses repas pendant 3 jours consécutifs. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de litres d’eau bue par le chien. On suppose que les choix du chien sont indépendants d’un jour à l’autre pendant ces 3 jours. 3. a. Quelles sont les valeurs possibles de X ? 3. b. Établir la loi de probabilité de X. 3. c. Calculer

la production. Déterminer une estimation par intervalle de confiance à 95% de la masse moyenne µ de la production. Le responsable de fabrication des camemberts « Le moine gourmand » souhaite savoir quelle taille minimale donner à un échantillon aléatoire simple pour obtenir un intervalle de confiance pour µ, au niveau 95 %, d’amplitude inférieure à 1. a) On indique au responsable que l’on ne peut pas répondre à sa question sans un renseignement supplémentaire sur la variance de la production. Pourquoi