Marche aléatoire

+ × 0,87 × 0,13 ≈ 0,721 La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721. B. Loi normale 1° Réponse C : 0,86 Justification (non demandée) : suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit la variable aléatoire définie par : ≤ 890,5 = 859,5 − 874 ≤ 10,5 = , =1− = 0,87 = 0,13 ; suit 29 11 −Π − ≈ Π 1,57 − Π −1,38 = Π 1,57 − 1 − Π 1,38 21 7 = 0,9418 − 1 + 0,9162 = 0,858 ≈ 0,86 =Π 2° Réponse A : 0,27 Justification (non demandée) : − 874 880

cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ». Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera

et que lim un = 1. n 1 Exercice 2 Dans cet exercice, p désigne un réel de ]0, 1[ et on note q = 1 – p. On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( , A, P ), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètre p. 1) On pose Z = Inf (X, Y) et on admet que Z est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé ( , A, P ). On rappelle que, pour tout entier naturel k, on a l’égalité : (Z > k) = (X > k)  (Y

usuelles 1 Variables aléatoires Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire muni de la probabilité P . Définition 1.1 (Variable aléatoire) Une variable aléatoire définie sur Ω associe à chaque issue, une valeur numérique. Les variables aléatoires que nous étudierons sont des applications (des fonctions) de Ω dans R. Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu’obtenir pile rapporte 1 e, alors qu’obtenir face fait perdre 1 e. On définit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 et

Terminale S ⇔ il a deux côtés consécutifs perpendiculaires ; ⇔ ses côtés [NP] et [NM] sont donc perpendiculaires ; Partie B La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0 . Ainsi, pour tout réel t positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie inférieure à t années, notée t 0  m−n  π π 1  1  ⇔ arg   = ± ⇔ arg  + i  = ± ⇔ + i ∈ iℝ

| | |ALÉATOIRES | Quand un événement peut prendre plusieurs valeurs fruits du hasard, on dit qu’il constitue une variable aléatoire. Généralités Une variable aléatoire prend différentes valeurs X avec des probabilités définies par sa distribution de probabilité

questions 45 minutes Louis-Victorien VEILLARD Pierre CARO Arthur BATTUT Question 1 : Tests de probabilités : ADE Dans cet exercice, nous nous intéressons au nombre de véhicules croisés par kilomètre. Il s’agit donc d’une variable aléatoire ou nous recherchons un nombre dans une distance fixée. D’autre part, ces évènements se produisent indépendamment de la distance parcourue depuis l’évènement précédent. C’est donc bien une loi de Poisson. Item A vrai, B faux. De plus, la fréquence

méthodes d’échantillonnage probabilistes (ou aléatoires). * Les méthodes d’échantillonnage probabilistes Elles regroupent les techniques qui font intervenir le hasard pour désigner les éléments de l’échantillon. Elles nécessitent une base de sondage (liste de tous les individus de la population mère), sont plus coûteuses et longues que les méthodes empiriques. Les échantillons obtenus par ces techniques sont : * les échantillons aléatoires simples * les échantillons systématiques

convenable. Dans un laboratoire de fabrication de résistances une étude a montré que la probabilité pour qu’une résistance tirée au hasard soit défectueuse est de 0,002. Une entreprise achète un lot de 1000 résistances. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de résistances défectueuses du lot. 1) Quelle est la loi de probabilité suivie en toute rigueur par X ? Préciser ses paramètres. 2) On approche la loi de probabilité X par une loi de Poisson. Préciser le paramètre de cette loi

températures 0.20 0.16 Taux de croissance 8 (cm/jour) 0.12 0.08 0.04 0.00 16 20 24 28 • • • Température (ºC) Les différents types d’ANOVA • • Type I (“effets fixes”) : les traitements sont déterminés par le chercheur Type II (“effets aléatoires”) : les traitements ne sont pas sous le contrôle de l’expérimentateur ANOVA Type II: poids de l’ours noir et dispersion géographique 280 • • 3 sites (groupes) échantillonnés La variable dépendante est le poids et le site est le facteur