Marche aléatoire

PROBABILITÉS : GÉNÉRALITÉS - CONDITIONNEMENT - INDÉPENDANCE 1. Expérience aléatoire, événements, loi de probabilité (Rappels de première et compléments) 1.1. Choix d'un modèle Lors de la réalisation d'une expérience aléatoire, on est amené à choisir successivement : a. Un univers W Il représente l'ensemble toutes les issues envisagées de l'expérience. Il est donc fonction de l'idée de modélisation a priori que l'on se fait de l'expérience. Si lors du lancer d'une pièce de monnaie on considère usuellement

d’obtenir 6 lors d’un lancer est égale à 1 3 . Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus. a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ? b. Quelle est son espérance ? c. Calculer P(X = 2). 2. On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite. On considère les évènements

l’issue de ces deux opérations, les deux urnes aient la même composition ? 2. Les urnes ont la composition donnée au début de l’exercice. On tire simultanément trois pièces de l’urne A ; ces pièces sont ensuite placées dans B. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de pièces en cuivre contenues dans B à l’issue de ces opérations. a. Montrer que la valeur minimale prise par X est 5. b. Déterminer la loi de probabilité de X . c. Calculer l’espérance mathématique de X . Baccalauréat

STS MAI 2 2006/2007     Chapitre 2 : Probabilit´es Fiche 3 : Loi binomiale & Loi de Poisson 1 Loi binomiale 1.1 Introduction On consid`ere une exp´erience al´eatoire qui a deux issues possibles : r´eussite ou ´echec. On notera p la proba- bilit´e de r´eussite et q la probabilit´e d’´echec. On a alors p+q = 1. Une telle exp´erience est appel´ee ´epreuve de Bernoulli1. Exemple 1 : une ´epreuve consiste `a lancer un d´e. On gagne si l’on obtient un 6. On a donc p = . . . . . . et

déjà vu précédemment, les modèles traités sont généralement des modèles très simples « modèle à une seule équation » décrit par une variable endogène Y dépendante d’une ou plusieurs variables dites exogènes ou prédéterminées, et d'une perturbation aléatoire , ce qui facilite l’étude et l’utilisation des méthodes d’estimations. Cependant, la plupart des systèmes économiques sont assez complexes de telle sorte qu’ils ne peuvent être représentés valablement par une seule équation.  Cet exposé sera

l’on pourra présenter à l’aide d’un arbre). 2. Quelle est la probabilité pour que le candidat donne la bonne réponse : a. à la première question posée ? b. à une seule des questions posées ? c. aux quatre questions posées ? 3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes données par le candidat. a. Donner les différentes valeurs prises par X . b. Donner la loi de probabilité de X . c. Calculer l’espérance mathématique de X . 4. Un candidat sera reconnu apte s’il donne au moins

on applique la formule p ( A ∩ B ) = p ( B ) × p ( A ) . Comment déterminer la loi d’une variable aléatoire ? On tente de reconnaître une loi classique : loi de Bernoulli, loi binomiale… Sinon, on cherche les valeurs k que peuvent prendre la v.a., et on donne tous les P(X = k ). Comment reconnaît-on une loi binomiale ? on repère des mots clés dans l’énoncé, par exemple : « Y la variable aléatoire qui compte le nombre de .. » « on répète de manière identique et indépendante l’expérience… » si au

considère X1, . . . , Xn ,n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de moyenne m et d'écart type s. Soit alors = m et = s 1.2 Deux théorèmes fondamentaux Th 1 : Loi faible des grands nombres Soient X1; X2 ; . . . Xn n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m alors la variable aléatoire vérifie pour tout réel positif e : Signification: Lorsque n devient très grand, le nombre de valeurs de la variable aléatoire Yn qui sont éloignées de m devient

deux autres. Une entreprise vend 2 types de meubles : M1, M2 respectivement 419 euros et 509 euros l’unité. La demande mensuelle en meubles M1 est : une variable aléatoire X qui suit la loi normale n (85 ; 15). La demande mensuelle en meubles M2 est : une variable aléatoire Y qui suit la loi normale n (52 ; 8). On suppose que X et Y sont indépendantes. Partie A Dans cette question, on suppose que le stock est suffisant pour satisfaire la demande

Calculatrice et nombres aléatoires N’ayant pas tous deux dés à six faces sur nous aujourd’hui, nous allons simuler cette expérience grâce à la calculatrice. En effet votre calculatrice a une fonction qui lui permet d’afficher un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 ; voici comment vous pouvez les faire afficher : Sur Casio : Dans le menu Run, tapez Optn, puis choi- Sur TI : sissez Prob (en utilisant la flèche si né- Tapez Math, puis choisissez Prb, et séleccessaire), et enfin choisissez Ran#. Tapez tionnez