Marche aléatoire

100 000 pièces. On considère, par expérience, que 0,1 % des vis sont non conformes (taille, filetage,…). Afin de tester un lot, on prélève des échantillons de 300 pièces (on assimilera ces prélèvements à des tirages avec remise). Appelons la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de vis non conformes dans un échantillon de 300 pièces. 1. Déterminer la loi suivie par X, ainsi que ces paramètres. 2. Par quelle loi peut-on approcher la loi précédente. On justifiera la réponse. 3. En utilisant

C 4 Exercice 4 – Soit la fonction f définie par :  1  si x  a ; b  f x   b  a  0 si x  a ; b   où x   , a   , b   et a  b Quand f est une densité de probabilité, on note X1 la variable aléatoire associée à f. On note X2 la variable aléatoire égale à la transformation linéaire suivante de X1 : X2 = 3 X1 +1. 1- Parmi les propositions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) ? A) f x  est toujours une densité de probabilité. B) Si a = 0, f x

exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à 10−3 près. Partie A : Conditionnement des pots 1. On veut p(X 6 49). Avec la calculatrice p(X 6 49) ≈ 0.202. 2. On note σ ′ le nouvel écart-type, et Z la variable aléatoire égale à X −50 σ′ a. La variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite. b. Une valeur approchée du réel u tel que p(Z 6 u) = 0,06 est u ≈ −1.555. c. Z = X −50 σ′ ⇔ X = σ ′Z +50 p(X 6 49) = 0,06 ⇔ p ¡ σ ′Z +50 6 49¢ = 0,06 ⇔ p µ Z 6 − 1 σ′ ¶

de la population, le caractère peut a priori prendre des valeurs aléatoirement différentes. Ainsi, le caractère peut être représenter par une variable aléatoire X. Lorsque le caractère est quantitatif (taille des individus,...), X sera une variable aléatoire égale aux valeurs du caractère ; on supposera en général que X est une variable aléatoire d’espérance mathématique (moyenne) , d’écart-type , et éventuellement de loi normale. Lorsqu’on n’a pas accès à l’ensemble de la population, on procède

Déterminer la probabilité de l’événement B : « le résultat obtenu est un nombre premier » 4) Caractériser par une phrase l’événement A ∪ B et calculer sa probabilité. EXERCICE 2 : VRAI ou FAUX . A et B sont deux événements de l’univers d’une expérience aléatoire, de loi de probabilité p. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. 1) Si A et B sont incompatibles alors ils sont contraires. 2) Si A et B sont contraires, alors ils sont incompatibles. 3) Si p(A) + p(B) = 1

Probabilités - cours - 2nde F.Gaudon 14 mars 2010 Table des matières 1 Expériences aléatoires 2 2 Lois de probabilité 2 3 Événements 3 4 Équiprobabilité 4 5 Calculs avec des probabilités 5 1 2 1 LOIS DE PROBABILITÉ Expériences aléatoires Dénitions : • Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs issues aussi appelées éventualités possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle sera réalisée. • L'ensemble de toutes les éventualités

1. Une étude interne à une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge moyen d’un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X , qui suit la loi normale de moyenne 40, 5 et d’écart type 12. a. Calculer la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris entre 30 et 35 ans. La variable aléatoire X suit une loi normale de paramètre m = 40, 5 et σ = 12. On cherche P (30 ≤ X ≤ 35) et la calculatrice donne P (30 ≤ X ≤ 35) ≈ 0,132569 On a donc

Correction BTS CGO Mathématiques 2011 Exercice 1 : A. Evénements indépendants, probabilités conditionnelles 1°) ܲሺ‫ܧ‬ଵ ሻ = ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ = ܲሺ‫ܣ‬ሻ × ܲሺ‫ܤ‬ሻ car ‫ ܣ‬et ‫ ܤ‬sont indépendants ࡼሺࡱ૚ ሻ = 0,02 × 0,03 = ૙, ૙૙૙૟ 2°) ‫ܧ‬ଶ correspond à : soit le défaut "a" soit le défaut "b" soit les deux défauts donc ‫ܧ‬ଶ = ‫ܤ ∪ ܣ‬ ࡼሺࡱ૛ ሻ = ܲሺ‫ܤ ∪ ܣ‬ሻ = ܲሺ‫ܣ‬ሻ + ܲሺ‫ܤ‬ሻ − ܲሺ‫ܤ ∩ ܣ‬ሻ = 0,02 + 0,03 − 0,0006 = ૙, ૙૝ૢ૝. 3°) ‫ܧ‬ଷ est le contraire de ‫ܧ‬ଶ donc : ࡼሺࡱ૜ ሻ = 1 − ܲሺ‫ܧ‬ଶ ሻ = 1 − 0,0494 = ૙, ૢ૞૙૟

P. E XERCICE 2 Commun à tous les candidats 6 points Les parties A, B et C sont indépendantes Partie A Restitution organisée des connaissances L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant : Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χα tel que P −χα < X < χα = 1 − α. Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels R par

: On tire une boule au hasard dans un sac contenant 3 boules noires, deux boules blanches et une boule rouge. On note la couleur de la boule obtenue. a) quelles sont les issues possibles de cette expérience ? b) justifier que l’expérience est aléatoire c) énoncer 3 évènements associés à cette expérience Exercice 3 : Un sac contient 7 boules : 4 boules vertes et 3 boules jaunes. Les boules vertes sont numérotées 2 ;3 ;3 ;4 et les boules jaunes 4, 2 et 3. On tire une boule au hasard et on