Marche aléatoire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Variables et vecteurs aléatoires …nies 1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . 2 Loi d’ une var …nie . . . . . . . . . . 3 Moments d’ une var …nie . . . . . . . 4 Loi d’ vecteur aléatoires …nis . . . un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

partie suivante avec une probabilité de 0,1. 1. On appelle : E1 l’événement « le joueur perd la première partie » ; E2 l’événement « le joueur perd la deuxième partie » ; E3 l’événement « le joueur perd la troisième partie ». On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. a. Quelles sont les valeurs prises par X ? b. Montrer que la probabilité de l’événement (X = 2) est égale à 0,031 et que celle de

. . . . . . . . . . . 2.3. Éléments aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Définition et caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Loi de probabilité d’un élément aléatoire . . . . . . . . 2.3.3. Éléments aléatoires indépendants . . . . . . . . . . . . Chapitre 3. Variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 Probabilités et statistique 3.1. Attributs des variables aléatoires réelles . . . . . . . . . . . . . .

problème présente dans la partie I une version édulcorée d’un résultat récent sur les lois de Benford obtenu par Nicolas Gauvrit et Jean-Paul Delahaye. On propose de l’appliquer ensuite afin d’obtenir des résultats sur les lois limites de variables aléatoires de Pareto. 9) (a) Le changement de variable est généralement correctement effectué. (b) Si l’inégalité de gauche s’obtient sans trop de difficultés, celle de droite est un peu plus délicate, ce qui a échappé à de nombreux candidats. Partie I. Cette

EXERCICE 1 : Partie A : CORRECTION DU 2009 nelle calédonie 1°) Il s’agit d’une succession de 20 expériences aléatoires identiques et indépendantes les une des autres. Chacune aboutissant à deux issues contraires : « le véhicule est défectueux » avec p= 0.2 et son contraire dont la probabilité est q=0.8. X suit donc une loi binomiale de paramètres 20 et 0.2. 2°) P(X=1) = 0.2 0.8 = 0.0576 3°) Au plus un véhicule signifie que un véhicule ou zéro sont défectueux . P(X=0) + P(X=1) = 0.2 0.8 + 0

Bernouilli. On appelle schéma de Bernoulli de paramètres n et p toute expérience aléatoire consistant à répéter k fois de façon indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Une épreuve de Bernouilli de paramètre p est une expérience aléatoire comportant deux issues, le succès ou l’échec, et où p représente la probabilité de succès. La loi binomiale négative exprime la probabilité de la variable aléatoire X qui représente le nombre d’épreuves n nécessaires à l’obtention de k succès, avec

différentes variables d’un système donné. D’autre part, en exploitant les indépendances conditionnelles entre les variables, ils introduisent une certaine modularité dans les systèmes complexes. Nous modélisons les dépendances entre les nœuds (variables aléatoires) en créant des interactions entre deux réseaux : un HMM-horizontal et un HMM-vertical. Le réseau HMMvertical (resp. HMM-horizontal) prend pour séquence d’entrée (observation) les colonnes de pixels du caractère (resp. les lignes de pixels) [HAL

46,6 81,4 37,3 51,2 39,9 57,2 10,6 15,9 11,6 20,1 20 Ass vie Devolder/Gilles 10 3. Espérance de vie Expression en fonction de la variable aléatoire « durée de vie future » T(x)= variable aléatoire = durée de vie future d’un individu d’âge x x+T(x)= âge au décès L’espérance de vie est l’espérance mathématique de cette variable aléatoire. Ass vie Devolder/Gilles 21 3. Espérance de vie Relations d’équivalence : e x = E ([T ( x )]) 0 e x = E(T ( x )) ≈ e x + p x = P(T ( x

x)ns-x6r alors on a : *fCt a) I, = #;- In+1 2/ Soit ?r un entier vérifiant n2 + 2n - glTl alors on a : a) n - 2l7l a ) p (X=0 , 5 ) - 9 , 5 EXERCICE No 2 (3,5points) b) n: 3L7l b )p (X > 0 ,8 /X > 0,5) 3i soit x une variable aléatoire qui suit la loi uniforme dans Le tableau ci-dessousdonne l'évolution de Ia population d'un I'année et P la lation en millions d'habitants. e le rang de Rang de I'année : T La ti on: P l/ Représenter le nuâge de points associéà 2/ Calculer

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