Martingale

usuel sous Q et Bt est un mouvement brownien avec drift λ . On note Ta = inf (t ≥ 0, Bt = a). Q (Ta T ) = EP (1Ta T ZT ) = EP (EP (1Ta T ZT |FTa )) d’après les projections itérées. Comme 1Ta T est FTa mesurable et en utilisant que Zt est une martingale sous P Q (Ta T) = = = 0 EP (1Ta EP (1Ta T T ZTa ) T exp(λ a− λ 2 Ta )) 2 exp(λ a − λ 2s )f (s)ds 2 Où f est la densité trouvée précédemment. 5 Ainsi la densité du temps d’arrêt Ta = inf (t ≥ 0, Bt = a) d’un brownien

Portefeuille autofinançant écrit sur un sous-jacent risqué : . . . . . . . . . . . 6.2 Les stratégies de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ 6.2.1 Théorème de Girsanov : une probabilité sous laquelle (St ) est une martingale 6.2.2 Valeur du portefeuille dynamique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Couverture des calls et des puts : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Confrontation du modèle de Black Scholes au modèle à queue lourde

r) (s1,2 − s1,1 ) S02 2 = s0 = = S0 (1 + r)0 = E Autrement dit, en termes probabilistes, les prix r´eactualis´es sont des P -martingales. La mesure P que nous venons d’introduire, ne correspond bien ´evidemment pas a ` la probabilit´e r´egissant les statistiques du march´e financier. Cette probabilit´e virtuelle est appel´ee mesure ` a risque neutre, ou mesure martingale, pour souligner le caract`ere “impr´evisible” des actifs r´eactualis´es, la neutralit´e des prix des droits conditionnels entre

. . . . . . . 107 5.5.1 Prix des produits d´riv´s atteignables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 e e 5.5.2 March´ complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 e 5.5.3 Probabilit´ risque-neutre, ou mesure-martingale . . . . . . . . . . . . . . . 110 e 5.5.4 Numeraire et changement de probabilit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 e 5.6 La formule de Black et Scholes Revisit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e 5.6.1 Portefeuille associ´

3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.4 Propriété de Markov : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.5 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.6 Martingale exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lien avec les EDP stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Problème parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Généralisation

bas´ e sur le mod` le dynamique d’´ valuation des ace e e e e tifs, voir Cochrane (2001). 7 – Une variable al´ atoire qui a la propr´ t´ suivante : e ee E((Xt+1 − Xt )|It ) = 0 (5) s’appelle une « martingale ». (C’est la variable en niveau Xt qui est une martingale.) – Le mod` le de martingale a fait l’objet de nombreuses applications empie ` riques. Le mod` le est simple a tester. Nous n’avons que de r´ gresser le e e changement r´ alis´ du prix (entre t − 1 et t) sur n’importe quelle pi` ce

. . . . . . . . 107 5.5.1 Prix des produits d´eriv´es atteignables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.5.2 March´e complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.5.3 Probabilit´e risque-neutre, ou mesure-martingale . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5.4 Numeraire et changement de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.6 La formule de Black et Scholes Revisit´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.6.1 Portefeuille associ´e

a : d < X >= µ2 d < t > +σ 2 d < B >t +2µd < B, t > = σ 2 d < B >t = σ 2 dt Remarque 3.1. < B >t est la variation quadratique du brownien B, ´gale ` t. On a donc d < e a B >t = dt. On d´finit la variation quadratique telle que : Xt2 − < X >t est martingale, i.e. E[Xt2 − < e 2 X >t |Fs ] = Xs − < X >s . On a donc finalement : dY = ∂f ∂f 1 ∂2f 2 dt + dX + σ (t, X)dt ∂t ∂X 2 ∂X 2 ∂f ∂f 1 ∂2f ∂2f ∂2f dt + dX + ( d + d+ d < X, t >) ∂t ∂X 2 ∂t2 ∂X 2 ∂X∂t variations finies→0 variations finies→0 h2 f (h)

portaient un harnachement de cuir vert et des culottes courtes, mais je crois que leursshorts étaient uniquement une concession à notre conception de la décence publique. Les vêtements étaient d'une coupe très à la mode, avec pattes aux poches et martingale dans le dos. Les Kanamites, entous cas, n'étaient point dépourvus d'humour ; leur mise le démontrait. Ils étaient trois à cette session des Nations Unies, et je ne saurais rendre l'impression étrange qu'on éprouvait à les voir là,au milieu d'une

des femmes, en s’élevant contre la jupe, le corset, les talons hauts Et c’est aussi à la Belle Epoque, en 1910, que Paul Poiret crée un redoutable vêtement pour les femmes. Il s’agit d’une robe fuselée resserrée dans le bas et retenue par une martingale intérieure nommée entrave. Sous le jupon, un dispositif serre les mollets pour empêcher tout déchirement du vêtement. Inutile de dire que la marche devait être restreinte. En témoigne l’écrivain Maurice Sachs qui raconte avec un sadisme tranquille