Martingale

Martingales et calcul stochastique Master 2 Recherche de Math´matiques e Universit´ d’Orl´ans e e Nils Berglund Version de Juillet 2010 Table des mati`res e I Processus en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 . 3 . 4 . 6 . 7 . 9 . 11 13 13 14 14 16 1 Exemples de processus stochastiques

loi de τ0 est un moyen de v´rifier la transience ou la r´currence d’un point, e e mais ce n’est pas le plus simple ! Le crit`re 1.9 est g´n´ralement bien plus simple ` mettre en œuvre. e e e a Chapitre 2 Esp´rance conditionnelle et martingales e 1 Construction et propri´t´s de l’esp´rance conditionnelle e e e e Il s’agit uniquement de rappels ! Consultez votre cours de 1`re ann´e pour les preuves et compl´e e ments. Prenez garde ` bien diff´rentier les signes ∈ et ⊂. a e

rende martingale toute stratégie autofinançante simple réactualisée , i.e. telle que: 1 Q x,∆ ˜ ˜ x,∆ X0 = EQ [X1 ] ou de manière équivalente X0 = E [X1 ] . R Remarque: Deux probabilités sont dites équivalentes lorsqu’elles ont les même ensembles négligeables, i.e. qu’elles chargent les mêmes états du monde ( i.e. qu’elles ont chacune une densité de Radon-Nikodym l’une par rapport à l’autre). Ici, cela signifie simplement que Q(ωd ) > 0 et Q(ωu ) > 0. ˜ Remarque: Dire que X x,∆ est une martingale sous

Université Paris VI Master 1 : Modèles stochastiques pour la finance TD 12-14 : Viabilité, complétude, couverture dans des modèles à temps discret On rappelle que proba risque neutre est synonyme de mesure martingale équivalente à la mesure µ. 1. Portefeuille auto-financé. On considère un espace mesuré (Ω, F, µ) muni d’une filtration I = (Fn )n≥0 supposée complète, vérifiant F0 = {∅, Ω} et F∞ = F. On considère F une marché discret comportant un actif sans risque B et d actifs risqués S = (S 1 ,

. . . . . . . . 25 25 25 26 26 27 28 30 30 4 Calcul stochastique ` a temps discret 4.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . 4.3 L’int´egrale stochastique discr`ete . . 4.4 Un th´eor`eme de Doob . . . . . . . 4.5 Martingale continue ` a droite . . . . 4.6 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 1.2 Les stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Stratégies admissibles et arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Martingales et arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Martingales et transformées de martingales . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Marchés financiers viables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Marchés complets et évaluation des options . . . . . . . . . . . . . . .

measure, or alternatively a risk adjusted measure or a martingale measure. Martingale measures will playa dominant role in the sequel so we give a formal definition. THE ONE PERIOD MODEL 9 Definition 2.4 A probability measure the following condition holds: Q is called a martingale measure if I \e may now state the condition of no arbitrage in the following way. Proposition 2.5 The market model is arbitrage free a martingale measure Q. if and only if there exists Rr the binomial

Processus discret et Martingale . . . . . . . . Modélisation du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stratégie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbitrage et Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Duplication d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Evaluation et couverture d’un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . 4 Calcul stochastique 4.1 Processus et Martingale . . . . . . . .

Ω = {( PPP), (PPF), (PFP), (PFF), (FFF), ( FFP), (FPF), (FPP)} T = { 3, 3, 3, 1, ∞, ∞, ∞, 3 } T=1 pas mesurable par rapport à ℑ1 UCL Devolder 38 2. Processus stochastiques Classes de processus: 1° MARTINGALES : Un processus stochastique est une martingale par rapport à une filtration donnée ssi : (i) X est adapté par rapport à {ℑt }; (ii) E( X( t ) l ℑs } = X(s) si s ≤ t - notion de fair game; en particulier on a : E ( X( t )) = X(0) UCL Devolder 39 2. Processus

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Martingales 7.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 1 21 21 Mesures 1.1 Tribus Dans la suite Ω d´signe un ensemble. e D´finition 1 Un sous ensemble C de P(Ω) est une alg`bre (de Boole)