Matrice diagonale

622 CHAPITRE 22. CALCUL MATRICIEL OBJECTIFS ⊲ r`egles de calcul avec les matrices ⊲ calcul des puissances d’une matrice ⊲ calcul de l’inverse d’une matrice ⊲ formulation matricielle des SEL Introduction Dans le Chapitre 21 , nous avons vu qu’un syst`eme d’´equations lin´eaires est repr´esent´e par une famille (ai,j)1in 1jp de coefficients ainsi que par un second membre b = (bi)1in. Lors de la r´esolution d’un tel syst`eme, seuls les coefficients du syst`eme et son second membre sont

P(X_{n}=x_{j}∣X_{n-1}=x_{i})=P(X_{n+k}=x_{j}∣X_{n+k-1}=x_{i}) Matrice de transition: Vecteur et matrice stochastique: Un vecteur (ligne) formé de nombre réels v=(v_{x₀},v_{x₁},...,v_{x_{n}}) est appelé vecteur stochastique si et seulement si -- toutes ses composantes sont positives ou nulles i.e. v_{x_{i}}≥0 pour 0≤i≤n. -- la somme de ses composantes est égale à un i.e. v_{x₀}+v_{x₁}+...+v_{x_{n}}=1 Une matrice carrée P=(p_{x_{i}x_{j}}) est stochastique si chacune de ses lignes

dimension finie : on notera toujours · la norme, indépendamment de l’espace utilisé. Dans l’espace Rn , on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base canonique. Par ailleurs, on notera AT la transposée d’une matrice A. L’espace Rn est naturellement muni d’un produit scalaire canonique, noté ·, · , et défini pour deux vecteurs x, y ∈ Rn par x, y = xT y. Définition 1 (différentielle). Soient U un ouvert de Rn et a ∈ U . Une

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit défini pour tout ( ( ) ) par ( ) 1. Montrer que est linéaire. ( ). 2. Déterminer Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit ( ) définie pour tout vecteur ( ) ( 1. Montrer que est une application linéaire. ( ( )). 2. Donner une base de ( ), en déduire 3. Donner une base de ( ). Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3

distances pour comprendre les similarités et dissimilarités. La distance entre Karditsa et Volos est : d K2 ,V  (1,27  (0,55)) 2  (1,50  (0,04)) 2  2,9 Calculées deux à deux les distances peuvent être retranscrites au travers de la matrice carrée dite matrice des proximités : Villes Karditsa Larissa Volos-Nea Ionia Trikala Karditsa 0,0 14,9 2,9 5,6 Larissa 14,9 0,0 5,3 2,2 VolosNea Ionia 2,9 5,3 0,0 1,0 Trikala 5,6 2,2 1,0 0,0 1 Si nous n’avions pas normé les variables, la distance

e1 +6e2 +2e3  f (e3 ) = e1 −e3 Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3 . Déterminer les sous-espaces vectoriels ker f et Im f . 2 Exercice 12 On pose   1 2 A =  0 −1  . 3 4 1. On considère l'application linéaire f : R2 → R3 représentée, dans les bases canoniques, par la matrice A. Calculer l'image par f du vecteur (2, −1). 2. On considère l'application linéaire f : R1 [X] → R2 [X] représentée, dans les bases canoniques, par la matrice A. Calculer l'image par f du polynôme P =

bien un système de la forme A  = B, où A est la matrice (A1 x2  1 3x1 – 1  0 7x1 – 7 x2 = – 1 3.  2 – 1x  =  5    2 – 1x  =  5    . 2 2 2x1 = 5 + x2 = 4 2 Le système S5 a alors pour unique solution le vecteur  . – 1 EXERCICE 7 1. S6 La matrice élargie du système S6 est : . A2).. Or Le système S6 est donc équivalent au système : qui n’a pas de solution puisque est impossible. 2. S7 La matrice élargie du système S7 est : .  Or  Le système

Documents III Matrice d’une application lin´aire e 28 III.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 e III.2 Calculer avec une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III.3 Influence de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 IV Calculs avec des matrices IV.1 D´terminant d’une matrice e IV.2 Transpos´e d’une matrice . e IV.3 Addition de matrices . . . . IV.4 Multiplication d’une matrice IV.5 Produit de matrices . . .

3)(X − 5) ⎪ 1 ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ (X − 1)(X − 5) ⎨P2 (X ) = ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪P3 (X ) = 1 (X − 1)(X − 3) ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎩ Calculer Pi (1), Pi (3) et Pi (5) pour i ∈ {1,2, 3} . 20. En déduire que P = (P1, P2, P3 ) est une base de 2 [X ] . 21. Déterminer la matrice A de passage de la base 23. On pose P0 (X ) = (X − 1)(X − 3)(X − 5) . Pour tout polynôme P (X ) de Démontrer que f est linéaire. 24. Déterminer l’image de f. 25. Déterminer le noyau de f. B à la base P . 22. Démontrer que A est inversible et

Analyse de données Course plan Louvain School of Statistics, Biostatistics and Actuarial Science Université catholique de Louvain 2011–2012 LSBA (UCL) LSTAT2110 - Course plan 2011–2012 1/7 Equipe Cours magistraux Johan Segers ISBA, Voie du Roman Pays 20, 1348 LLN, d.118 johan.segers@uclouvain.be Réception sur rendez-vous Sarah Gengler Cédric Taverne TP AGRO TP STAT/ACTU LSBA (UCL) LSTAT2110 - Course plan 2011–2012 2/7 Ressources Volume horaire: