Matrice diagonalisable

1 Calcul matriciel Calcul des puissances d’une matrice Opérations sur les matrices Exercice 6 [ 01251 ] [correction] Calculer An pour n ∈ N et les matrices A suivantes : Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1  . .  J =  . (1) .  . . ··· 1 a) A = 1 0 1 2 b) A = Exercice 7 [ 01252 ] [correction] On considère la matrice b a  1 A= 0 0 1 Vérifier J.A.J = σ(A)

SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk Eiℓ

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1     0   k x ∈ Rn ∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V i =1 k  α i xi α i ∈ R ∑  

Un rappel sur les matrices Patrice Wira Université de Haute-Alsace Faculté des Sciences et Techniques 2000 - 2001 Sommaire Calculs matriciels (matrix algebra) ........................................................................................ 1 1. 2. Représentation matricielle et notations................................................................................................. 1 L’addition .....................................................................................

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e 

retranche la réponse des répondants de la moyenne des réponses. Précisions qu’il n’est pas souhaitable de réduire. A=[pic]on forme la matrice transposée à AT à partir de A AT =[pic]on multiple AT par A pour obtenir la matrice C= [pic]*[pic]=[pic] [pic]la trace est de 36,4 On diagonalise la matrice C. Pour ce faire, on multiplie la matrice C par une matrice identité. [pic]*[pic]=[pic]=0 Pour calculer le déterminant, on va arrondir les chiffres. [pic] Une méthode simple consiste à

alors elles sont égales en ce point: 2f xixj (X) = 2f xjxi (X) 3 Matrice hessienne 3.1 Définition et notations Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente. La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ..., xn) la matrice formée des dérivées secondes de f en X0. Cette matrice carrée et symétrique est notée en un point X0: Hf (X0) = D2f(X0) = 2f 2X

Chapitre 23 MATRICES Enoncé des exercices 1 Les basiques Exercice 23.1 Donner la matrice de l’application linéaire f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (z, y, x) dans les bases canoniques. Puis montrer que B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)) est une base. Donner la matrice de f dans B. Exercice 23.2 Soit f l’endomorphisme de R2 défini par f 1 −1 ,B= x y = x − 3y 2x + 4y Justifier que B = Soit A = 1 −3 2 4 , 2 est une base de R2 . 1 4 −1 que représentent A et B vis à vis de f ? −2 8

ij a (k) ik kj wa Fin(j); Fin(i) Fin(k) ; ; 15 A k désigne les sous-matrices principales de A définies par a11 a12 a1k k a 22 a 2k a k1 a k2 A k a kk Si det( A ) est non nul pour k=1,2,…,n, alors la méthode d’élimination de Gauss est faisable sans permutation de (k) lignes (tous les pivot akk sont non nuls). Remarque: 1) Si A est une matrice régulière (inversible), alors l’élimination de Gauss peut toujours se faire avec permutation

Chapitre 1 La définition d'une matrice: (i) Une matrice A de dimension (ou type) m X n est un tableau rectangulaire à m lignes et n colonnes. (ii) Les éléments de A seront appelés entrées, notés aij où i désigne le numéro de la ligne et j celui de la colonne. (iii) L'ensemble de toutes les matrices de dimension m X n sera noté M m,n. m (lignes) X n (colonne) : Am X n Type de matrices particulières : Nulle ; tout 0 Matrice (ou vecteur) ligne ou colonne Matrice carrée Matrice triangulaire supérieur :