Matrice hessienne

de Rd , Z = (Z1 , · · · , Zd )′ ,     Z1 E(Z1 )  .    . . E(Z) = E  .  =  . . . Zd E(Zd ) De la même manière, on définira l’espérance d’une matrice dont les coordonnées sont des variables aléatoires par la matrice dont les coordonnées sont les espérances de chacune de ces variables aléatoires. Ceci nous permet de définir la matrice de variance-covariance de Z de la manière suivante : V ar(Z) = E [(Z − E(Z)).(Z − E(Z))′ ] donc si Z = (Z1 , · · · , Zd )′ , Z1  . V ar  . . Zd   V ar(Z1

des polynômes, la résolution approchée d’équations différentielles. En préambule à tous ces aspects, nous présentons au Chapitre 1 la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les nombres réels, les complexes ainsi que les vecteurs et les matrices. Afin de rendre notre présentation plus concrète, nous adoptons les environnements de programmation MATLAB 1 et Octave. Rappelons qu’Octave est une réimplémentation d’une partie de MATLAB qui inclut en particulier de nombreuses fonctionalités numériques

approximations. Chapitre 2 : Fonctions à plusieurs variables - Notions de fonctions numériques à plusieurs variables (on se limite à 2 variables) : limites, continuité. - Dérivées partielles premières, différentielle - Dérivées partielles secondes, matrice Hessienne, formule de Taylor à l’ordre deux. Application à la recherche d’extrema. Chapitre 3 : Optimisation - Fonction convexes, fonctions concaves - Optimisations sans contraintes : condition du 1er ordre et condition du 2ème ordre - Optimisation

des problèmes qui ne se posent pas - ou qui sont aisément résolubles - avec le logit mutinomial. En particulier, pour identifier ces modèles, on doit poser des conditions se traduisant par des restrictions sur les variables ou sur les termes de la matrice de variance-covariance du modèle, conditions qui, dans la pratique, sont rarement évidentes. Pour terminer et être plus complet, on mentionnera une alternative possible aux modèles logit polytomiques non ordonnés pour obtenir un modèle flexible de

Gallinari t) Autres procédures de minimisation basées sur le gradient  Approximation quadratique locale de la fonction à optimiser (on approxime C par une parabole) 1 C(w)  C(w0 )  (w  w0 )T C(w0 )  (w  w0 )T H(w  w0 ) 2   Avec H le Hessien de C(.) : En différentiant par rapport à w C ( w)  C ( w0 )  H ( w  w0 )  On cherche le minimum de C C (w)  0   Méthode de Newton w  w0  H 1 C ( w0 ) Trop couteux en pratique (O(n3) pour l’inverse, + dérivées partielles) 44

en œuvre ces notions • déterminer un espace engendré par une famille de vecteurs • trouver la dimension d'un espace vectoriel • déterminer le rang d'une famille de vecteurs • savoir déterminer si une application est linéaire • trouver la matrice représentative d'une application linéaire dans une base donnée • étudier les propriétés d'injectivité, surjectivité, bijectivité d'une application linéaire • déterminer l'image et le noyau d'une application linéaire 23 Semestre 1 – UE2

son inverse de O √ √ sur O′ =]0, +∞[×] − π, π[ et ϕ−1 (ρ, θ) = ( ρ cos θ, ρ sin θ). Pour ne pas se tromper entre le jacobien de ϕ et de ϕ−1 dans le changement d’´l´ment diff´rentiel, il est ´clairant ee e e d’utiliser la notation suivante pour la matrice jacobienne x+ x +y 2 D(x, y) = D(ρ, θ) √ √ cos(θ)/(2 ρ) − ρ sin θ √ √ ρ cos θ sin(θ)/(2 ρ) . on ne change rien ` la valeur de I 2 en restreignant l’int´gration ` O : I 2 = a e a Par la formule de changement de variable on en d´duit que

son inverse de O √ √ sur O′ =]0, +∞[×] − π, π[ et ϕ−1 (ρ, θ) = ( ρ cos θ, ρ sin θ). Pour ne pas se tromper entre le jacobien de ϕ et de ϕ−1 dans le changement d’´l´ment diff´rentiel, il est ´clairant ee e e d’utiliser la notation suivante pour la matrice jacobienne x+ x +y 2 D(x, y) = D(ρ, θ) √ √ cos(θ)/(2 ρ) − ρ sin θ √ √ ρ cos θ sin(θ)/(2 ρ) . on ne change rien ` la valeur de I 2 en restreignant l’int´gration ` O : I 2 = a e a Par la formule de changement de variable on en d´duit que

Chaque tenseur L peut être représenté dans une base par une matrice 3×3, dont les éléments sont les neuf composantes cartésiennes de L:  L11 L =  L21   L31  L12 L22 L32 L13  L23  .  L33   On peut maintenant spécifier les composantes d'un vecteur résultat de l'application d'un tenseur sur un autre vecteur: Lv = Lij (e i ⊗ e j )( vk e k ) = Lij vk (e i ⊗ e j )e k = Lij v j e i . Cette formule équivaut à l’application d'une matrice 3×3 sur un vecteur colonne 3×1. 1.9 PRODUIT TENSORIEL Pour

; 2. une et une seule solution ; 2.5. LA MÉTHODE DU SIMPLEXE 17 3. une infinité de solutions. Nous supposerons que toutes les variables sont positives. Le second cas, avec une et seule solution, ne peut survenir que si n = m, et si la matrice A est inversible, ce qui revient à exiger que nous avons éliminé au préalable toute équation pour s’écrire comme combinaison linéaire des autres équations. Si nous n’avons qu’une seule solution admissible, elle est forcément optimale, par conséquent