Matrice jacobienne

normés 3 Nous notons la norme euclidienne de v ∈ Rn par n ||v|| = d(0, v) = 2 vi , i=1 de sorte que d(x, y) = ||x − y||. La norme est liée au produit scalaire canonique de Rn xi yi = xt y x, y = i=1 (où x est la matrice transposée de x ; c’est donc une matrice ligne, et il s’agit d’un produit matriciel de type « ligne × colonne » qui donne toujours un scalaire réel). Alors on a ||v|| = v, v . t 1.1. Proposition. La norme euclidienne a les trois propriétés suivantes. Pour tout

quatre variables en chaque accès k : le module Uk et l’argument Ɵk, la puissance triphasée active Pk et réactive Qk consommée ou produite par l’accès. Etant donnés la topologie du réseau représentée par la matrice d’incidence nœuds-branches, les paramètres statiques du réseau, représentés par la matrice des impédances ou des admittances aux accès, les puissances actives et réactives produites et consommées aux accès, un nœud de référence ou nœud bilan, on calcule les tensions aux accès, la répartition

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 11. Matrices 7 7 7 7 8 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . . . . . . . . Généralités sur les matrices carrées Matrice d’une application linéaire . Matrice de Passage . . . . . . . . . . Changements de base . . . . . . . . Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝑧 Dans la base ( Ԧ𝑥, Ԧ𝑦, Ԧ𝑧)Mécanique des milieux continus - SYNTHESE 3 Matrice des contraintes en un point (caractérisation mathématique) Définition Principe des actions réciproques: Propriétés de la matrice des contraintes Equilibre en rotation : L’état de contrainte en un point P peut être caractérisé par une matrice des contrainte composée de 3 vecteurs Matrice symétrique Cube unitaire infiniment petit Notion de contraintes EFFORTS Extérieurs (CHARGEMENT) CONTRAINTES

variable). Soient f : Rd −→ R mesurable et U, V deux ouverts de Rd tels qu’il existe un diff´eomorphisme Φ de U sur V . Alors, si f est positive ou mesurable f dλ = V U f ◦ Φ |JΦ |dλ, o` u |JΦ | d´esigne le d´eterminant de la Jacobienne de Φ. Exercice. Calculer la Jacobienne de Φ : (r, θ) → (r cos(θ), r sin(θ)). 21 2.4 Espaces Lp Pour un espace (E, E, µ) mesur´e, l’ensemble des fonctions µ-int´egrables est un espace vectoriel, que l’on note L1 (E, µ). De mˆeme, pour p ≥ 1, on note Lp (E, E, µ)

partielles de f en a sont dé…nies , on appelle matrice jacobéenne de f en a la matrice. 0 1 @f1 @f1 @f1 B @x1 (a) @x2 (a) ........ @xn (a) C B @f C @f2 B C 2 (a) (a) ........ ........ B C B @x1 C @x2 Df (a) = Jacf (a) = B ...... C ........ ........ ........ B C B ........ C ....... ........ ........ B C @ @fp A @fp @fp (a) (a) ........ (a) @x1 @x2 @xn où fj est la j ème application composante de f . Si p = n, le déterminant de la matrice jacobéenne est appelé jacobien. On le note ou D(f1 ; :::; f n) (a). D(x1

définitions suivantes:  La matrice J est appelée matrice jacobienne du problème. C'est une matrice rectangulaire, de dimension N x n, avec généralement N >> n. Elle contient les valeurs des fonctions de base φk pour chaque point de mesure.  La matrice diagonale W est appelée matrice des poids: elle prends en compte le fait que chaque valeur de yi peut être affecté d’un écart type différent. Si ce n’est pas le cas, W peut être remplacé par la matrice unité. 22 Ajustement d'un polynôme

aléatoire X est la mesure image sur Rn de la probabilité par X : PX(A1×· · ·×An) = P (X ∈ A1×· · ·×An) = P (X1 ∈ A1, . . . , Xn ∈ An); Ai ∈ B(R). Définition 2.1.24 Le vecteur espérance est E(X) =t (E(X1), . . . , E(Xn)). La matrice carrée ΣX = (cov(Xi, Xj))1≤i,j≤d est appelée matrice de cova- riance avec cov(Xi, Xj) = E(XiXj)− E(Xi)E(Xj). Définition 2.1.25 – Un vecteur aléatoire X est discret si l’ensemble de ses valeurs X(Ω) est discret dans Rn. – Un vecteur aléatoire X de Rn est de loi la densité

g´om´trique du maillage e e e 5.1 Crit`re de distorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2 Crit`re du noeud milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.3 Crit`re du jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 40 40 40 41 6 Thermo´lasticit´ e e 6.1 Principales commandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Rappeler une structure . . . .

diff´rentielle au point a d’une application f de Rn dans e e Rp :: • La matrice jacobienne. C’est une matrice de p lignes et n colonnes. Elle sera not´e Mf (a). e • Le gradient de f , si p = 1. C’est un vecteur de Rn . Il sera not´ e f (a). • La d´riv´e de f , si n = 1. C’est un vecteur de Rp . Il sera not´ f (a). e e e Nous donnons maintenant les d´finitions de Mf (a), e f (a) et f (a). D´finition 7.7 (Matrice jacobienne, gradient, d´riv´e) Soit n, p ∈ N , Ω un ouvert de Rn et f e e e une application