Matrice jacobienne

. . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Déterminants . . . . . . . . . 1.3 Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . 1.3.1 Espaces préhilbertiens . . . . 1.3.2 Espaces euclidiens . . . . . . . 1.3.3 Automorphismes orthogonaux 7 7 7 7 8 10 11 11 12 12 12 13

Y r∗ + µ = = = ˜ K α α k∗ µ ¶∗ µ ¶∗ ˜ C c∗ ˜ µ0 k ∗ µ0 α I = ³ ´ =1− ³ ´ = 1− ∗ =1− Y r +µ Y ˜ ˜ f k∗ f k∗ δx = x − x∗ ! On obtient ainsi un système linéaire du type µ ¶ + − ˙ = M X, X M= − 0 . Appelons λ1 , λ2 les valeurs-propres de la matrice M et V1 , V2 les vecteurspropres correspondants. La solution générale est X = h1 eλ1 t V1 + h2 eλ2 t V2 , où h1 et h2 sont des constantes dépendant des conditions initiales. Dans le cas présent, la somme des valeurs propres est égale à la trace de

e 3 Fichiers SCRIPT et FUNCTION 3.1 Fichiers SCRIPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Fichiers FUNCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Op´rations math´matiques avec MATLAB e e 4.1 Scalaires, vecteurs, matrices . . . . . . . . . 4.2 Graphiques simples . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Fonctions math´matiques simples . . . . . . e 4.3.1 Fonctions math´matiques usuelles . e 4.3.2 Fonctions matricielles . . . . . . . . 5 Programmation avec MATLAB 5.1 Op´rateurs

)Notations 3 Introduction 4 Préliminaires 6 Equations différentielles ordinaires 6 Définitions 6 Existence et unicité des solutions 7 Quelques notions de stabilité 9 Définitions 9 Méthode de Lyapunov 11 Le principe d’invariance de LaSalle 12 Quelques matrices particulières 12 Analyse mathématique de modèle COVID-19 14 Introduction 14 Présentation du modèle de COVID-19 16 Résultats de l’ajustement du modèle 19 Analyse mathématique de modéle 20 L’existence et l’unicité 20 Positivité et la bornitude : 22

. . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.2 Covariance de deux v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.3 Matrice de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.4 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4 Caractérisation des lois : transformée de Laplace et caractéristique 4.1 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . .

des fonctions de classe C 1 de I 2.3 Par la recherche d'intégrales premières indépendantes Si λ est une valeur propre de A, comme det(A − λI p ) = 0 , il existe une combinaison linéaire, à coefficients non tous nuls, des lignes L i de la matrice A − λI p p telle que i=1 αi L i = 0 . En utilisant cette combinaison linéaire à partir des lignes de X − λX = (A − λI p )X + B p on obtient une équation différentielle ordinaire qui donne y = i=1 αi xi . Si A est diagonalisable

M est inversible. Dans ce cas, M −1 est la matrice de u−1 dans B . soit injective donc il suffit que Ker u = {0}. (3.19) Lorsque dim E < ∞, pour qu’un endomorphisme de E soit un automorphisme, il suffit que u soit surjective donc que rg (u) = dim E . (4.9) La matrice dans la base B de la famille F de p vecteurs de E est la matrice P dont la premi`re e colonne est constitu´e de la matrice colonne dans B du premier vecteur de F etc. e Matrices (4.10) Dans le contexte (4.9), lorsque dim

des fonctions de classe C 1 de I 2.3 Par la recherche d'intégrales premières indépendantes Si λ est une valeur propre de A, comme det(A − λI p ) = 0 , il existe une combinaison linéaire, à coefficients non tous nuls, des lignes L i de la matrice A − λI p p telle que i=1 αi L i = 0 . En utilisant cette combinaison linéaire à partir des lignes de X − λX = (A − λI p )X + B p on obtient une équation différentielle ordinaire qui donne y = i=1 αi xi . Si A est diagonalisable

Exercice 23. Soit les trois fonctions de trois variables : f [1](x[1], x[2], x[3]) = x[1] + 2x[2] + 5x[3] − 1 f [2](x[1], x[2], x[3]) = x[2]x[3]2 − 2 f [3](x[1], x[2], x[3]) = x[3]5 − 5 22 ´ CHAPITRE 4. QUELQUES COMPLEMENTS On d´finit la matrice Jacobienne (MJ ) associ´e a ces trois fonctions par : e e ` (MJ )i,j = df [i] dx[j] Le but de l’exercice est d’utiliser la m´thode de Newton-Raphson pour r´soudre ce syst`me e e e d’´quations. e La m´thode de Newton-Raphson est une m´thode it´rative

avoir U ouvert de Rn et F = Rm ; on peut alors noter la différentielle sous forme matricielle ; cette matrice est appelée matrice jacobienne. Elle est de la forme :   δf δf1 δf1 1 ... δx δx2 δxn   δf21 δf δf  δx1 δx22 ... δxn2   . .. ..  ..  .  .  . . .  δfm δx1 δfm δx2 ... δfm δxn Si n = m, la matrice jacobienne est carrée, on peut donc considérer son déterminant, appelé jacobien de f . 1.2 Le théorème des accroissements finis 1.2.1 Résultats principaux Définition 14 Soient a et