Matrice jacobienne

...................................................................... 5 II-1.1 Analyse du problème ........................................................................................................................... 6 II-1.2 Calcul de la matrice raideur................................................................................................................ 7 II-1.3 Résolution ..........................................................................................................

on note f ′′ij la dérivée croisée de f par rapport à xi et xj (f ′′ij = ∂2f(x1,x2,...,xn) ∂xi∂xj ) Déterminant d’une matrice : Le déterminant d’une matrice est défini par induction : • Une matrice (1,1) est juste un scalaire a. Le déterminant de cette matrice est égal à a. • Matrice (2,2) : soit M = ( a b c d ) . Le déterminant de M s’écrit ∣∣∣∣∣ a b c d ∣∣∣∣∣ = ad− bc. • Matrice (n, n) : soit M =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann   Pour calculer

y  x y/x  y 2  si x, y  0, 0 f x On a lim h0  f h, 0  f 0, 0/h  lim h0  f 0, h  f 0, 0/h  0 Donc f admet des dérivées partielles par rapport à x et y en 0, 0 et on a f 0, 0  y 0, 0  0. c) Matrice jacobienne: Soit f une fonction définie sur un ouvert U de  n à valeurs dans  p . Pour x  U , nous avons f x  f 1 x, . . . , f p x , où f 1 , . . . , f p sont des fonctions sur U à valeurs dans , appelées les fonctions composantes de f .Soit

Loi de Gauss bidimensionnelle centrée . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lois marginales des variables aléatoires X1 et X2 2.2.2 Covariance entre X1 et X2 . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Matrice de covariances du couple (X1 ; X2 ) . . . . 2.3 Loi gaussienne bidimensionnelle centrée et réduite . . . . 2.4 Lois gaussiennes conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Lois gaussiennes bidimensionnelles quelconques . . . . . . . . . . .

algébriques. Première partie 1. Soient x(1) , . . . , x(n) des éléments de Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n + 1. On note V le vecteur de Rn+1 de composantes Vk . 1.a) Montrer que V est orthogonal à tous les x(i) . 1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V = 0 ii) la famille (x(i) )i=1

valeur absolue du d´terminant de la matrice jacobienne de u e ′ ′ ′ n h au point x = (x1 , . . . , xn ) ∈ U ⊂ R . Si on interpr`te les “´l´ments de volume”de la physique en termes de e ee mesure, on en d´duit que la mesure de Lebesgue dx dans V est la mesure e 16 Chapitre 1. image de la mesure dx′ de U par h, c’est-`-dire la mesure de densit´ |Jh(x′ )| a e par rapport ` la mesure de Lebesgue dans U . a L’interpr´tation physique de la valeur absolue du jacobien est classique : e ∂h ∂h . c’est

anneaux Z, Q. Divisibilité. PPMC et PGCD. nombres premiers dans Z, étude de l’anneau Z/mZ. Algèbre linéaire et calcul matriciel - Espaces vectoriels. Famille libres famille génératrices, notion de base. Applications linéaires et matrices, Calcul matriciel et Rang d’une matrice. Changement de bases. - Calcul des déterminants. Résolution des systèmes d’équations linéaires. Polynôme caractéristique, diagonalisation. Module 2: Mathématique II Elément Contenu Fonctions d’une variable réelle et étude des

noyau . . . . . . . . . . . 8 12.4. Projecteur . . . . . . . . . . . . . . 8 12.5. Théorème du rang . . . . . . . . . 12.6. Système linéaire . . . . . . . . . . . 8 9 9 13. Matrices 13.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Généralités sur les matrices carrées 9 13.3. Matrice d’une application linéaire . 9 13.4. Matrice de Passage . . . . . . . . . 9 13.5. Changements de base . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I- Introduction : Le processus d’endommagement d’un matériau peut être décomposé en trois étapes distinctes : - La nucléation des défaut, encore appelée germination. Cela correspond à la création des défauts dans la matrice vierge. - La croissance des cavités dans le matériau subissant des déformations. - La coalescence des cavités, menant à la formation des fissures. Ces phases sont étudiées à différentes échelles. La première est à l’échelle microscopique, le comportement du

les a modélisés comme des ressorts linéaires unidimensionnels (les membrures étaient supposées rigides, et les articulations passives parfaites). Ces hypothèses ont permis de réduire l’analyse de la rigidité d’un mécanisme à l’analyse de sa matrice jacobienne. Une évolution de ce modèle, tenant compte des flexibilités dans les membrures a été présentée dans [10] en utilisant des corps rigides et des flexibilités par des ressorts en torsion ou en flexion. Généralement, cette modélisation fournit une