Matrice jacobienne

(x)dx, avec les notations de 4.8.2 Moments d’un vecteur aléatoire Si les composantes Xi du vecteur aléatoire X = (X1 , . . . , Xn ) sont de carré intégrable, ÉCO la matrice de covariance de X est la matrice CX = ((ci,j ))1≤i,j≤n de taille n × n et dont les éléments valent ci,j = cov(Xi , Xj ). Proposition 4.8.8 La matrice des covariances est symétrique non-négative. E Preuve. La symétrie est évidente. “Non-négative” C T E signifie que pour tous réels ai . Un calcul simple montreLY que O n i

de Rd , Z = (Z1 , · · · , Zd )′ ,     Z1 E(Z1 )  .    . . E(Z) = E  .  =  . . . Zd E(Zd ) De la même manière, on définira l’espérance d’une matrice dont les coordonnées sont des variables aléatoires par la matrice dont les coordonnées sont les espérances de chacune de ces variables aléatoires. Ceci nous permet de définir la matrice de variance-covariance de Z de la manière suivante : V ar(Z) = E [(Z − E(Z)).(Z − E(Z))′ ] donc si Z = (Z1 , · · · , Zd )′ , Z1  . V ar  . . Zd   V ar(Z1

diff´rentiable au point a et g est diff´rentiable au point f(a), alors g ◦ f est diff´rentiable au point e e e a avec → − → − → − d(g ◦ f)a ( h ) = (dg)f(a) ◦ dfa ( h ), ∀ h ∈ Rn . 15.3 Matrice Jacobienne D´finition 73 e Soit f : U ⊂ Rn −→ Rp diff´rentiable en un point a ∈ U, sa matrice Jacobienne au point a est la matrice e note Ja f ∈ Mp,n (R), d´finie par la relation: e Ja f = MB,B (dfa ) o B, B sont respectivement les bases canoniques de Rn et Rp . Proposition 60 Soit f, g : U ⊂ Rn −→ Rp , λ ∈ R et

individuels 2.2. Test sur les deux paramètres a et b 2.3. Test sur une combinaison linéaire des coefficients 2.4. Prévision 2.5. Exemple numérique Compléments d’algèbre matricielle 3.1. Formes quadratiques 3.2. Matrice symétriques et idempotentes 3.3. L’inversion en forme partagée 3.4. Notions de dérivation matricielle Compléments d’analyse statistique multivariée 4.1. La loi normale multivariée 4.2. Fonctions linéaires et quadratiques de

y2 ). Soit: e e Soit Si: µ u1 u2 ¶ =h µ y1 y2 ¶ Y = {(y1 , y2 ) | fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) > 0} . une fonction bijective de domaine Y et d’image U . (1) les d´riv´es partielles de h sont continues sur Y, e e (2) le jacobien:  J = det  est non nul pour (u1 , u2 ) ∈ U , ∂y1 /∂u1 ∂y1 /∂u2 ∂y2 /∂u1 ∂y2 /∂u2   ` PREMIERE PARTIE, CHAPITRE II 15 alors: fU1 ,U2 (u1 , u2 ) = | J | fY1 ,Y2 [h−1 (u1 , u2 )] pour u ∈ U = 0 sinon . Exemple

locales . . 5.2.6 R´sultat final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.3 Quelques commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Quelques aspects pratiques de la m´thode e 6.1 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Assemblage de la matrice du syst`me . . . e 6.3 Formules de quadrature . . . . . . . . . . 6.3.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . e 6.3.2 Quadrature en 1-D . . . . . . . . . 6.3.3 Quadrature en 2-D triangulaire . . 6.4 Domaines ` fronti`re courbe . . . . . . . . a e

ANNEE) PLAN I : Généralités 1) Equation différentielle du premier ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients constants 2) Equations linéaires à coefficients non constants Annexe

canonique. Nous allons ¶tablir cette propri¶t¶ de fa»on moins directe, mais peut e ee c ^tre plus accessible. Rappelons d'abord que: e Z V0 dQ1 ¢ ¢ ¢ dQn dP1 ¢ ¢ ¢ dPn = Z V jJ j dq1 ¢ ¢ ¢ dqn dp1 ¢ ¢ ¢ dpn ; (2.71) oµ J est le Jacobien du changement de variable, d¶terminant form¶ avec toutes les d¶riv¶es partielles u e e e e des nouvelles variables par rapport aux anciennes: ¯ ¯ @Q1 ¯ ¯ @q1 ¯ ¯ . J =¯ . ¯ . ¯ @Q1 ¯ ¯ ¢¢¢ .. . ¢¢¢ @pn @Pn @q1 . . . @Pn @pn que nous

Applications diff´erentiables . . . . . . . A.2.2 Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . A.2.4 D´eveloppements de Taylor . . . . . . . . A.2.5 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . A.3 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Norme matricielle . . . . . . . . . . . . A.3.3 Matrice (semi-)d´efinie positive/n´egative . . . . . . . . . . . . . . 111 111 111

diff´ rentiable. On note hi (x) = hi (x1 , . . . , xn ) la ieme coordonn´ e de h(x). On appelle e e matrice jacobienne en x ∈ ∆ la matrice des d´ riv´ es partielles (∂hi /∂xj )1≤i,j≤n prise au point x, et jacobien de h le e e d´ terminant de cette matrice : ce d´ terminant est not´ Dh(x). e e e En d´ rivant les deux membres de l’´ galit´ h−1 ◦ h(x) = x on v´ rifie imm´ diatement que les matrices jacobiennes de e e e e e h en x et de h−1 en h(x) sont inverses l’une de l’autre. Par suite on a Dh(x)Dh−1 (h(x))