Matrice jacobienne

vecteur aléatoire (T1; :::; Tn) soit à densité, de densité ': 28Chapitre 2. Processus de Poisson homogéne Soit f : Rn ! R continue bornée, alors comme T1 � T2 � ::: � Tn, par un changement de variable tk = s1 + ::: + sk (1 � k � n) de jacobien 1 (la matrice jacobienne est triangulaire), on a E [f (S1; :::; Sn)] = E [10<T1�:::�Tnf (T1; :::; Tn � Tn�1)] = Z 0�t1�:::�tn f (t1; :::; tn � tn�1)' (t1; :::; tn) dt1:::dtn = Z 0�s1�:::�sn f (s1; :::; sn)' (s1; :::; s1 + :::+ sn) ds1:::dsn: Donc : (s1; :::;

des polynômes, la résolution approchée d’équations différentielles. En préambule à tous ces aspects, nous présentons au Chapitre 1 la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les nombres réels, les complexes ainsi que les vecteurs et les matrices. Afin de rendre notre présentation plus concrète, nous adoptons les environnements de programmation MATLAB 1 et Octave. Rappelons qu’Octave est une réimplémentation d’une partie de MATLAB qui inclut en particulier de nombreuses fonctionalités numériques

Premi`eres op´erations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3 Extraction de sous matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.4 Op´eration ´el´ement par ´el´ement (ou vectorisation). . . . . . 19 1.5.5 Fonctions compl´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.6 Moindres carr´es et projections orthogonales. . . . . . . . . 22 1.5.7 Valeurs propres et exponentielle de Matrice. . . . . . . . . 24 1.6 Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . e 4.2.1 Quelques g´n´ralit´s pour commencer... . . . . . . . . . . . e e e 4.2.2 La m´thode de la plus grande pente . . . . . . . . . . . . . e 4.2.3 La m´thode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2.4 M´thode du score et matrice BHHH . . . . . . . . . . . . . e 4.3 Estimations par algorithme al´atoire . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3.1 Faire jouer le hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Moduler le hasard : Metropolis Hastings et le recuit simul´

usuelles modernes : – les exemples sont le plus souvent introduits à l’aide de « ♣ Exemple. – » et on indique la fin d’un exemple par le symbole « qed » ⊓ ; ⊔ – les problèmes d’interprétation sont indiqués par le symbole dans la marge ; – les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ; – les variables sont en italique ; – les fonctions, opérateurs, et nombres sans dimension sont en roman ; – le symbole O (O majuscule) signifie généralement « est de l’ordre de ». En fait, la définition est plus précise

102 103 103 104 105 5 Algèbre linéaire numérique 5.1 Calculs inexacts en algèbre linéaire . . . . . . . . . . 5.2 Matrices pleines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Résolution de systèmes linéaires . . . . . . . 5.2.2 Résolution directe . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 La décomposition LU . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 La décomposition de Cholesky des matrices symétriques définies positives . . . . . . . . . 5.2.5 La décomposition QR . . . . . . . . . . . . . Calcul mathématique

. . . . . . . . . . . . . 3.7.3.1 Les valeurs propres λi de A sont distinctes . . . . . . 3.7.3.2 Les valeurs propres λi de A sont multiples . . . . . . 4 R´ ponse d’un mod` le d’´ tat e e e 4.1 Solution du syst` me autonome . . . . . . e 4.1.1 Matrice de transition d’´ tat . . . . e 4.1.2 Solution de l’´ quation homog` ne e e 4.2 Solution de l’´ quation d’´ tat compl` te . . e e e 4.3 Calcul de eAt . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 M´ thode des s´ ries . . . . . . . . e e 4.3.2 Par la transformation

de ces remarques et en négligeant les termes d’ordre supérieur, le système ci-dessus se simplifie : dx1 (t) dt dx2 (t) dt = = ∂X1 ∂X1 ∂x1 x1 + ∂x2 x2 ∂X2 ∂X2 ∂x1 x1 + ∂x2 x2 . (3.11) En notant X = (x1 , x2 )T et en introduisant la matrice Jacobienne J : J= ∂X1 ∂x1 ∂X2 ∂x1 ∂X1 ∂x2 ∂X2 ∂x2 , (3.12) on peut mettre l’équation (3.11) sous forme vectorielle : dX = JX. (3.13) dt Le système (3.13) est un système différentiel linéaire à coefficients constant qui décrit le comportement du

partir de ces remarques et en négligeant les termes d’ordre supérieur, le système ci-dessus se simplifie : dx1 (t) dt dx2 (t) dt = = ∂X1 ∂X1 ∂x1 x1 + ∂x2 x2 ∂X2 ∂X2 ∂x1 x1 + ∂x2 x2 . (3.11) En notant X = (x1 , x2 )T et en introduisant la matrice Jacobienne J : J= ∂X1 ∂x1 ∂X2 ∂x1 ∂X1 ∂x2 ∂X2 ∂x2 , (3.12) on peut mettre l’équation (3.11) sous forme vectorielle : dX = JX. (3.13) dt Le système (3.13) est un système différentiel linéaire à coefficients constant qui décrit le comportement du système

1 = 1 − xy 1 − u2 + v 2 Pour transformer l’intégrale, il convient de remplacer dx dy par 2 du dv afin de compenser le fait que le changement de variables réduit les aires dans un facteur constant 2 (qui est en fait la valeur absolue du déterminant jacobien de la transformation ; voir encadré). Le nouveau domaine d’intégration et la fonction à intégrer sont symétriques relativement à l’axe des u, il suffit donc simplement de doubler la valeur de l’intégrale sur la moitié supérieure du domaine, que nous