Matrice normale

Un rappel sur les matrices Patrice Wira Université de Haute-Alsace Faculté des Sciences et Techniques 2000 - 2001 Sommaire Calculs matriciels (matrix algebra) ........................................................................................ 1 1. 2. Représentation matricielle et notations................................................................................................. 1 L’addition .....................................................................................

Fisher – Soit un n-échantillon (X1 , · · · , Xn ) de loi f (x | θ). On a le résultat suivant. Sous certaines conditions de régularité, l’estimateur du maximum de √ ˆ ˆ vraisemblance θn de θ est tel que, pour n assez grand, n(θ − θ) suit une loi normale centrée, de variance 1/I(θ). Autre résultat important : l’inégalité de Cràmer-Rao. Soit tn , un estimateur de g(θ), alors : E(tn − g(θ))2 ≥ (g (θ) + bn (θ))2 , nI(θ) où bn (θ) = E(tn ) − g(θ), est le biais. Si g(θ) = θ et si l’estimateur

Filtres de lissage Filtres de contours Convolution discrète 2D : du 1D au 2D Principe L'image I est une fonction de 2 variables discrètes (x et y) à support fini. Le filtre de convolution H appliqué sur I est lui aussi à 2D. Il est donné par une matrice de poids (ou coefficients) de taille (2w+1)x(2w+1). H est appelé filtre, masque, noyau ou fenêtre de convolution. Formule et mise en œuvre L'image I' résultat de la convolution de I par H est donnée en chaque pixel (x,y) par : w w I ' ( x , y)=(

. . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Annexe : commandes SAS du chapitre. . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Rappels de statistique math´matique e 3.1 Matrice des covariances d’un vecteur al´atoire e 3.2 Lois de probabilit´s d’un vecteur al´atoire . . e e 3.2.1 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . Loi normale bivari´e . . . . . . . . . . e Loi normale conditionnelle . . . . . . . 3.3 Tests d’hypoth`ses . . . . . . . . . . . . . . . e Situation pratique courante. . . 3.4 Rappels sur la r´gression

. 1.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Équations de type z 2 = α . . . . . . . . . 1.2.2 Équations de type az 2 + bz + c = 0, a = 0 2 Calcul matriciel 2.1 Matrice à coefficients dans K . . . . 2.2 Somme de matrices . . . . . . . . . 2.3 Multiplication par un élément de K 2.4 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 8 10 10 11 15 15 16 17 18 21 21 21 22 25 26 26 27 27

pratique, e ee e ıt c’est bien sˆr SAS qui s’occupe de cette ´tape. u e ˆ Sous certaines conditions, l’estimateur du maximum de vraisemblance θ est convergent et suit asymptotiquement une loi normale centr´e sur la vraie valeur θ des param`tres et de matrice de variance covariance ´gale ` l’inverse e e e a de la matrice d’information de Fisher I(θ) (l’oppos´e de l’esp´rance de la Hessienne de la log-vraisemblance). e e C’est la connaissance de cette loi asymptotique qui permet d’estimer les variances asymptotiques

card(E 1 ) = dim R2 = 2 1 0 1 0 1 0 0 1 1 E 1 est Libre car : @ 1 A + @ 0 A = @ 0 A () 0 1 0 Donc E 1 est une base, donc dim(E 1 ) = 2 E 2.4 1 A est elle diagonalisable ? Pour que A soit diagonalisable il faut montrer que X dim E = ordre de la matrice A Pour le 2éme exemple, on a dim(E 1) + dim(E2 ) = 2 + 1 = 3 = ordre de A Donc A est diagonalisable. 6 = =0 2.5 Diagonaliser A: Si A est diagonalisable, Alors A = P:D:P 1 Retournons au 2éme exemple,Sachant que A est diagonalisable donc:

n = Q × D n ×Q −1 , alors : A n+1 A n+1 A n+1 A n+1 = = = = A × A n+1 = A × Q × D n ×Q −1 Q × D ×Q −1 ×Q ×D n ×Q −1 Q ×D × I d × D n ×Q −1 n+1 Q ×D ×Q −1 – Conclusion : On a donc prouvé que pour tous les entiers n : A n = Q × D n ×Q −1 . c. La matrice D étant diagonale on a : D n = 3. a. On a montré que Un = A n U0 , et donc : Un = jn an = 0, 3 + 0, 7 × (−0, 25)n 0, 5 − 0, 5 × (−0, 25)n 0, 42 − 0, 42 × (−0, 25)n 0, 7 + 0, 3 × (−0, 25)n × 200 500 (−0, 25)n 0 0 1 Et donc j n = 270 − 70 × (−0,

est stable par cette application linéaire. Quel est le noyau de cette application linéaire ? Identifiez son ensemble image. Donnez la matrice correspondant à cette application linéaire. c) Même question avec y -> xy'(x)+3y(x) Que peut-on alors dire de la résolution d'équations du genre xy'(x)+3y(x)=f(x) ? Valeurs propres - Vecteurs propres Soit f . Donnez la matrice M correspondant à f. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de f. Sur le papier, dessinez deux vecteurs propres (un par

exercice, les résultats seront donnés à 10−3 près. 5 points 1. Une étude interne à une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge moyen d’un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X , qui suit la loi normale de moyenne 40, 5 et d’écart type 12. a. Calculer la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris entre 30 et 35 ans. b. Calculer la probabilité que le client n’ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. 2. Dans un slogan