Matrice normale

Caractéristiques numériques des variables aléatoires 1- Espérance 2- Variance, covariance 3- Exercices V- Variables aléatoires usuelles 1- Loi de Bernoulli (p) 2- Loi binomiale (n, p) 3- Loi uniforme 4- Loi exponentielle 5- Loi de Poisson (λ) 6- Loi normale (µ, σ) 7- Exercices VI- Somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes 1- L'inégalité de Tchebychev 2- Loi des grands nombres 3- Théorème central-limite 4- Exercices VII- Echantillonnage 1- Description des données statistiques sur un

l’utilisation du test anova de Fisher soit valable, il faut vérifier deux conditions : (i) la normalité de la variable X dans les k populations étudiées : dans chaque population Pi , les valeurs de X se distribuent autour de leur moyenne mi selon une loi normale de Laplace-Gauss N(mi, 2i ) (ii) l’homogénéité des variances de la variable X dans les k populations étudiées : les valeurs de X se dispersent autour de leur moyenne mi de la même manière dans les différentes populations, c,`a, d : delta 2/1 = delta

obtient que P(64  X  104) = P(X  104) P(64  X) = (1 0, 16) 0, 16 = 0, 68. (b) D’après le cours on sait que si X suit une loi normale N (µ, s 2 ), alors P(µ s  X  µ + s ) = 0, 68. Dans notre exemple on sait que µ = 84 on peut donc proposer 20 comme valeur de s d’après la question précédente. X 84 X µ 2. (a) On a Z = = , donc d’après le cours Z suit un loi normal N (0; 1) s s ✓ ◆ ✓ ◆ X 84 20 20 (b) P(X  64) = P(X 84  20) = P  =P Z s s s ✓ ◆ 20 20 (c) On sait que P(X  64) = 0, 16 = P Z

rejette l’hypothèse nulle. d) β = P (7.65 ≤ ͞x ≤ 8.35 │H1 : µ = 7.8) À l’aide de la transformation centre réduite on a : β = P (7.65 – 7.8 ≤ Z ≤ 8.35 – 7.8) 1.5/√70 1.5/√70 β = P(-0.84 ≤ Z ≤ 4.74) Si on utilise la table de la loi normale centrée réduite, on trouve P(0 ≤ Z ≤ -0.84) = 0.5 β = P(-0.84 ≤ Z ≤ 4.74) = P(0 ≤ Z ≤ 4.74) - P(0 ≤ Z ≤ -0.84)=0.5-0.2995=0.2005 Le risque d’accepter à tort l’hypothèse nulle µ = 8 alors que la vrai moyenne est 7.8 est seulement de 2 chances

effectifs cumulés (fonction de répartition) ....................................... 41 5.8 Quantiles ..................................................................................................................... 42 5.9 La loi ou distribution normale ou gaussienne ............................................................. 43 5.10 Intervalle de confiance................................................................................................ 45 5.11 Critères de normalité.........

211 211 214 II. La loi normale ou loi de Laplace-Gauss A. La loi normale centrée réduite B. La loi normale ᏺ(m, σ) 220 C. Usage des tables D. Abord statistique de la loi normale E. Abord probabiliste de la loi normale F. Correction de continuité 219 219 Les lois dérivées de la loi normale A. La loi du khi-deux B. La loi de Student C. La loi de Fisher-Snedecor 240 240 247 252 III. 226 233 235 239 IV. Quelques autres modèles continus courants A. La loi log-normale B. La loi de Pareto C. La

des studios clermontois. Proposer une estimation de l’écart-type de la surface des studios clermontois 1 5) 6) 7) Pour déterminer un intervalle de confiance de la surface moyenne des studios, on suppose que la variable « surface » suit une loi normale dans la population. Cette condition est-elle nécessaire pour établir l’intervalle de confiance ? Etablir l’intervalle de confiance à 95% de la surface moyenne. Utiliser un test statistique pour répondre à la question : la surface moyenne des studios

claire rend possible l’utilisation des vecteurs et des matrices. Les lecteurs de ce livre devraient ˆtre assez familiers avec l’alg`bre matricielle. Cette annexe e e est destin´e ` aider ceux qui esp`rent se rafraˆ e a e ıchir la m´moire et r´unir les e e r´sultats avec une plus grande facilit´. Les lecteurs devraient noter que le e e Chapitre 1 contient aussi un nombre utile de r´sultats sur les matrices, en e particulier ceux concernant les matrices de projection. Dans cette annexe, des preuves seront

Soit la matrice A = On pose X = a b 0, 95 0, 01 . 0, 05 0, 99 où a, b sont deux réels fixés et Y = AX . Déterminer, en fonction de a et b, les réels c et d tels que Y = c d . Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel n, X n+1 = AX n où vn Xn = . On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, X n = A n X 0 . cn 3. Soient les matrices P = 1 −1 5 1 et Q = 1 1 . −5 1 a. Calculer PQ et QP . En déduire la matrice P −1 en

Pour v´rifier qu’une matrice est sym´trique, il suffit de v´rifier que BT = B. Or, A est sym´trique, d’o` e e e e u A = AT , ce qui entraˆ ıne BT = (MAMT )T ￿ = (MT )T AT MT = MAMT = B. car (CD)T = DT CT ￿ Exercice A.6. a) Pour trouver l’angle de rotation, on peut utiliser l’´galit´ e e a−c cos 2θ = cot 2θ = . On a que b sin 2θ 3−3 cos 2θ =0= ⇐⇒ cos 2θ = 0 ⇐⇒ θ = 45◦ (puisqu’on suppose 2θ ∈ ]0◦ ,180◦ [ ). 2 sin 2θ √ ￿ ￿ 2 1 −1 La matrice de rotation est R45◦