Matrice normale

quelconque . . . e 4.2 Simulation de variables al´atoires ` densit´ . . . . . . . . . e a e 4.2.1 Loi uniforme sur [a, b] avec a < b ∈ R . . . . . . . . 4.2.2 M´thode d’inversion de la fonction de r´partition . e e 4.2.3 M´thode polaire pour la loi normale centr´e r´duite e e e 4.2.4 M´thode du rejet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 R´sum´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5 Convergence et th´or`mes

monétaires d’un portefeuille obéit à une loi normale. 2. LES DIFFÉRENTES CLASSES DE MÉTHODES DE CALCUL DE LA VAR 2.1 MÉTHODES PARAMÉTRIQUES , COVARIANCE-VARIANCE (ARCH, GARCH UNIVARIÉ, GARCH MULTIVARIÉ, RISKMETRICS). La VaR paramétrique est calculée à partir d’un calcul analytique assez aisé en pratique, mais elle repose sous des hypothèses théoriques assez contraignantes. Les principales hypothèses sont les suivantes : que les prix du marchés suivent une loi normale et que les instruments présentent une

Introduction La loi normale (ou de Laplace-Gauss) est la loi de certains phénomènes continus qui fluctuent autour d’une moyenne , de manière aléatoire. La dispersion des valeurs observées d’un même caractère gaussien est représenté par un écart type . L’objectif de ce projet est d’étudier et de simuler la loi normale centrée réduite c’est à dire la loi normale avec les paramètres et . Pour cela, on a étudié différents algorithmes fondés sur le théorème central limite, sur la méthode

munir des cours historiques du marché On suppose que les tendances futures seront identiques paramétrique : Avec m et sigma estimés selon la méthode choisie (cf partie 3) Zq dépend de la loi de probabilité choisie comme modèle Ex : pour une loi normale : Z95% = 1.65 Z99% = 2.33 ESSI - 15/02/2004 Nicolas MARTIN – Josselin TOBELEM 8 3 – Les différentes méthodes A. VaR historique 1/2 Sans tirages Calculer les rendements historiques des composantes du portefeuille. Trier ces rendements

élémentaires d'algèbre linéaire, de probabilité et de statistiques. En algèbre linéaire, doivent être connus les applications linéaires, les opérations matricielles ainsi que les formes quadratiques positives et les résultats de diagonalisation des matrices symétriques. En probabilité, il est nécessaire de connaître les notions d'espace probabilisé, de variable aléatoire, de loi de probabilité discrète et continue d'une variable et d'un couple de variables, de calculs de moments et d'indépendance de

e e 3.3.2 Moments, covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Matrice de variance-covariance . . . . . . . . . . . . La loi normale dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Pr´liminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4.2 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.4.3 Th´or`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e Lois d´riv´es de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.5.1 Loi du χ2 (chi-deux) . . . .

Aujourd’hui la famille des processus ARCH/GARCH e 2. Correspond au moment d’ordre 4 standardis´, et est ´gal a 3 dans le cas d’une distribution normale, si il e e ` est sup´rieur a 3 la distribution sera plus aplatie que la normale, et inversement s’il est inf´rieur a 3 e ` e ` 3. Correspond au moment d’ordre 3, et est ´gal a 0 dans le cas de la loi normale, s’il n’est pas nul alors la loi e ` n’est pas sym´trique e ´ 3 LA MODELISATION ARCH/GARCH 6 Figure 5 – Histogramme et coefficients de

alors elles sont égales en ce point: 2f xixj (X) = 2f xjxi (X) 3 Matrice hessienne 3.1 Définition et notations Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente. La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ..., xn) la matrice formée des dérivées secondes de f en X0. Cette matrice carrée et symétrique est notée en un point X0: Hf (X0) = D2f(X0) = 2f 2X

valeurs propres donn´es. e e Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs

Chapitre 23 MATRICES Enoncé des exercices 1 Les basiques Exercice 23.1 Donner la matrice de l’application linéaire f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (z, y, x) dans les bases canoniques. Puis montrer que B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)) est une base. Donner la matrice de f dans B. Exercice 23.2 Soit f l’endomorphisme de R2 défini par f 1 −1 ,B= x y = x − 3y 2x + 4y Justifier que B = Soit A = 1 −3 2 4 , 2 est une base de R2 . 1 4 −1 que représentent A et B vis à vis de f ? −2 8