Matrice stochastique

Une telle présentation suppose que les n investisseurs ont des anticipations identiques sur ce ˜ que rapporteront les titres en t = 1. On supposera de plus que les distributions Z j sont telles que les espérances et les variances existent et que la matrice de variance - covariance associée Ω est non singulière. ˜ La richesse Ri d’un investisseur i au temps t = 1 dépend du nombre xi de titres sans risque déi tenu et du nombre y j de titres risqués j détenus, c’est-à-dire son portefeuille (xi,yi) . On

6 Modèles stochastiques 6.1 Concepts de base . . . . . . . . . . . 6.2 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . 6.2.1 Variables aléatoires discrètes 6.2.2 Variables aléatoires continues 6.2.3 Espérance mathématique . . 6.2.4 Variance . . . . . . . . . . . . 6.3 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . 6.3.1 Loi de Bernouilli . . . . . . . 6.3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . 6.3.3 Loi de Poisson . . . . . . . . 6.3.4 Loi exponentielle . . . . . . . 6.4 Modèles stochastiques . . . . .

(méthode de disposition libre des données)FP : Fonds PropresNFC : National Financial CreditPME : Petites et Moyennes EntreprisesSCB - CA : Société Commerciale de Banques - Crédit AgricoleSFA : Stochastic Frontier Approach (approche par les frontières stochastiques) SGBC : Société Générale de Banques au CamerounTD : Taux de DéfautsUBA : United bank for AfricaUBC : Union Bank of CameroonVRS : Variable Return to SCALE (modèle à Rendements d'Echelle Variables)LISTE DES FIGURES, GRAPHIQUES ET TABLEAUXA- FiguresFigure

d'état, : vecteur qui représente les q mesures ou le vecteur de sortie (s), : vecteur qui représente les p commandes (e), : Matrice de dynamique, : Matrice de commande, : Matrice d'observation, : Matrice d'action directe. Ceci est le cas le plus général. Les matrices A, B, C, D sont souvent invariantes selon le temps, elles deviennent alors des matrices constantes et on parle de représentation d'état continue indépendante du temps donnée par les deux relations matricielles suivantes:

options portant sur un actif sous-jacent. Au travers de ce mémoire nous étendons ces 2 approches, la méthode des trajectoires et la méthode du ratio de vraisemblance à des produits dérivés portant sur plusieurs actifs sous-jacents en partant de la matrice de variance covariance. Pour la méthode des trajectoires, les paramètres de sensibilité sont dérivés par rapport à chacune des trajectoires possibles de la valeur de l’option tandis que pour la méthode du ratio de vraisemblance, les sensibilités sont

financier conduisant au défaut (utilisation des résultats de Merton [9]), – et l’approche sous forme réduite modélisant le défaut sans référence au processus financier sous-jacent. Le défaut est imprévisible et sa loi est gouvernée par un processus stochastique (de Poisson à intensité constante le plus souvent). Nous allons nous intéresser dans cette section à l’approche par les notations. Cette méthodologie s’appuie sur le constat qu’un événement de défaut est consécutif à une dégradation progressive

jours qui suivent l'exposition, la mort de toute vie ou une déplétion cellulaire qui n'entraîne pas toujours la mort de l'organisme ; effets différés : dits "stochastiques" qui entraînent des mutations de l'ADN. Ces effets peuvent se manifester tardivement (plus de 10 ans après l'exposition) ; effets génétiques : également "stochastiques" qui concernent la descendance des sujets irradiés. effets Tératogènes : portant atteinte à l'embryon ou au fœtus. La Commission Internationale de Protection

implicite de Dupire . . . . . . . . . . . . . . . Volatilit´ implicite dans les mod`les ` volatilit´ locale . e e a e Calibration de la volatilit´ locale . . . . . . . . . . . . . e 4 Les 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 mod`les ` volatilit´ stochastique e a e Equations de pricing et de couverture . Application ` l’arbitrage de volatilit´ . . a e Estimation de volatilit´ . . . . . . . . . e Param´trisation de Heston . . . . . . . . e M´thode de transform´e de Fourier pour e e Compl´ment:

ces deux formes, il faut se ramener à un problème de maximum. Exemple Écrivons l’exemple sous forme standard. , ce qui donne la matrice et . Bases, bases réalisables, solutions de base On suppose que le problème P s’écrit avec A une matrice de dimension m x n. Base & hors-base Considérons un m-uplet B. On dit que B forme un base si et seulement si la matrice AB m x m, constituée par les colonnes de A d’indice dans B, est régulière. Le complément de B dans est le hors-base associé HB.

. . . . e 4.2.1 Quelques g´n´ralit´s pour commencer... . . . . . . . . . . . e e e 4.2.2 La m´thode de la plus grande pente . . . . . . . . . . . . . e 4.2.3 La m´thode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2.4 M´thode du score et matrice BHHH . . . . . . . . . . . . . e 4.3 Estimations par algorithme al´atoire . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3.1 Faire jouer le hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Moduler le hasard : Metropolis Hastings et le recuit simul´