Matrice symétrique

{x ∈ Rn : x ≤ 0}. – Rn++ := {x ∈ Rn : x 0}. – x ∈ Rn et x ∈ Rn , x · x d´enote le produit scalaire de x et x. – A matrice r´eelle `a m lignes et n colonnes et B matrice r´eelle `a n lignes et colonnes, AB d´enote le produit matriciel de A et B. – Un vecteur x ∈ Rn est trait´e comme une matrice ligne. – xT d´enote le vecteur transpos´e de x ∈ Rn , xT est trait´e comme une matrice colonne. – Soient f une fonction de Rn dans R et x = (x1 , . . . , xh , . . . , xn ) ∈ Rn . Pour tout h = 1, . . . ,

décomposition des noyaux Théorème : Si alors , Corollaire : Si sont deux à deux premiers entre eux alors on a : Corollaire : Si et , les sont deux à deux premiers entre eux. Alors Corollaire : ( et ). . . 4. Polynôme de matrice Tout est identique pour les matrices en remplaçant par II. Réduction d’un endomorphisme 1. Valeurs propres et vecteurs propres d’endomorphisme a. Droite stable Problème : Soit une droite, on cherche une CNS pour que D soit stable par . b. Valeurs propres

suivre - Deuxième année 1. On commence par exprimer le domaine en fonction de r et θ. On a en effet : x ≥ 0 et y ≥ 0 =⇒ θ ∈ [0, π/2]. D’autre part, x2/3 + y 2/3 ≤ 1 =⇒ r2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ r ≤ 1. Calculons encore le jacobien de ce changement de variables. La matrice jacobienne a pour forme : cos3 θ −3r cos2 θ sin θ . sin3 θ +3r sin2 θ cos θ http://www.bibmath.net 6 Exercices - Intégrales multiples : corrigé Le déterminant jacobien vaut donc : 3r sin2 θ cos2 θ + 3r cos2 θ sin4 θ = 3r sin2 θ cos 2θ. On en déduit

Ex. 20 — Vérifier que si a est une forme bilinéaire symétrique et coercive sur un espace d’Hilbert H alors a définie un produit scalaire sur H × H. Ex. 21 — Soit V un espace d’Hilbert et Vh un sous espace de V . a une forme bilinéaire et L une forme linéaire et u et uh vérifient : a(u, v) = L(v) a(uh , v) = L(v) ∀v ∈ V et ∀v ∈ Vh Vérifier que : a(u − uh , u − uh ) = a(u − uh , u − v) ∀v ∈ Vh Ex. 22 — Soit a une forme bilinéaire symetrique sur H × H et L une forme linéaire sur H. On note par

scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien) • Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R : ¬ ¡   λx + µy ¬z = λ(x|z) + µ(y|z) 1) bilinéaire : ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ R, ;   ¬ ¡ x¬λy + µz = λ(x|y) + µ(x|z) 2) symétrique : ∀x, y ∈ R, (y|x) = (x|y) ; 3) définie : 4) positive : ∀x ∈ E, ∀x ∈ E, (x|x) = 0 (x|x) ⇐⇒ x = 0E ; 0. • Un espace vectoriel réel

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e 

intéressons au choix des constituants élémentaires, c'est-à-dire à la nature physique des renforts et de la matrice, en nous focalisant essentiellement sur les composites "modernes" ; nous n'abordons donc pas le cas des multi-matériaux traditionnels ou naturels comme les bétons (armés ou non) ou les bois. Il est d'usage de classer les composites par la nature de leur matrice, pour deux raisons : la matrice assure toutes les fonctions autres que la tenue mécanique (voire, dans le cas des matériaux "à grande

13 décembre Espaces préhilbertiens réels et euclidiens Révisions suites et séries de fonctions E est un R-espace vectoriel 1 Produit scalaire 1.1 Formes bilinéaires symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo) 1.2 Formes quadratiques 1.2.1 Dénition

Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Matrices Définitions Soit K un sous-corps de C. Une matrice à coefficients dans K est notée : A = (aij ) 1≤i≤p où p représente le nombre 1≤j≤q de lignes et q le nombre de colonnes. On écrit A ∈ Mpq (K). Soient A et B deux matrices de Mnp (K). On définit la matrice C = A + B où C = (cij ) avec cij = aij + bij , la matrice A = λA où A = (aij ) q avec aij = λaij . Si A ∈ Mnp (K) et B ∈ Mpq (K), on définit la matrice P = AB par pij = k=1 aik bkj et P ∈ Mnq (K)

donnés doivent satisfaire à l’équation de la courbe, nous obtenons le système d’équations suivant : ax2 + bx1 + c = y1 1 ax2 + bx2 + c = y2 2 ax2 + bx3 + c = y3 3 Ce système d’équations ayant les variables a, b, et c, peut être traduit sous forme de matrice augmentée, qui correspondra bel et bien à celui présenté dans l’exercice. 8. Si le système est cohérent, nous pouvons soustraire les deux premières equations de la dernière, par exemple. Le résultat obtenu sera alors c – a – b = 0 ou c = a + b. Le