Matrice symétrique

matriciel 1 Définition Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes : Exemple avec n = 2, m = 3 : | | n et m sont les dimensions de la matrice. Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A. On note Aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nommée en premier). On note [Aij] la matrice d'élément général Aij. On a donc : A = [Aij] Si m = 1, la matrice est appelée vecteur (plus précisément

point de minimum local pour f alors : • x0 est un point critique pour f : Df(x0) = 0 • la matrice hessienne Hf(x0) est semi-définie positive (SDP) : hTHf(x0)h � 0 8h 2 Rn Théorème 2.7.4 [Condition nécessaire de maximum local] Soient D un ouvert de Rn, f : D 7! R une fonction de classe C2 et x0 2 D. Si x0 est un point de maximum local pour f alors : • x0 est un point critique pour f : Df(x0) = 0 • la matrice hessienne Hf(x0) est semi-définie négative (SDN) : hTHf(x0)h  0 8h 2 Rn ATTENTION : les conditions

Vectoriel Euclidien (préhilbertien) Rn. i)- NOTATION : • Soit un élément de Rn, on note alors X la matrice colonne ( à n lignes et 1 colonne) constituées des composantes, dans la base canonique B, du vecteur x . • X= ; la transposée X’= la matrice ligne ( à 1 ligne et n colonnes)  ni xxxx 1                 n i x x x   1  ni xxx 1• Où B={ e1, e2, …, en } et   

on note f ′′ij la dérivée croisée de f par rapport à xi et xj (f ′′ij = ∂2f(x1,x2,...,xn) ∂xi∂xj ) Déterminant d’une matrice : Le déterminant d’une matrice est défini par induction : • Une matrice (1,1) est juste un scalaire a. Le déterminant de cette matrice est égal à a. • Matrice (2,2) : soit M = ( a b c d ) . Le déterminant de M s’écrit ∣∣∣∣∣ a b c d ∣∣∣∣∣ = ad− bc. • Matrice (n, n) : soit M =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann   Pour calculer

INTERNE (L.C.I.) LOI DE COMPOSITION EXTERNE (L.C.E.) NOTATIONS EXEMPLES DE LOIS DE COMPOSITION PARTIE STABLE POUR UNE LOI DE COMPOSITION PROPRIETES USUELLES DES LOIS DE COMPOSITION STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL REEL HOMOMORPHISME D’ESPACES VECTORIELS MATRICE ASSOCIE CANONIQUEMENT A UN SYSTEME DE VECTEURS COMBINAISON LINEAIRE DE VECTEURS D’UN ESPACE VECTORIEL SYSTEME GENERATEUR OU FAMILLE GENERATRICE DEPENDANCE LINEAIRE ORDRE ET RANG D’UN SYSTEME DE VECTEURS BASE D’UN ESPACE VECTORIEL CALCUL PRATIQUE

Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . 2.2.3 Propriétés des matrices carrées . . . . . . . 2.3 Espace euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rang d’une matrice An×p . . . . . . . . . . 2.3.3 Matrice euclidienne . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Projection

donné ne dépend que de l’entrée à cet instant • Canal discret sans mémoire stationnaire On a: ∀k ≥ 1, P(Y k X k ) = P(Y X ) La relation entrée/sortie est indépendante du temps. Ce type de canal est caractérisé par une matrice stochastique de dimension lXl x lYl appelée matrice de transition. L’élément i,j donnant la probabilité conditionnelle P(Y j X i) MFEZE Michel DEA LETS-GETENSP UYI - Octobre 2005 7 I.2- Capacité en information du canal sans mémoire C = max I ( X ; Y ) • Elle

un réel (pour l’agrandir ou le rétrécir). Mais on peut aussi additionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un réel. Même chose avec les polynômes, les matrices,... Le but est d’obtenir des théorèmes généraux qui s’appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l’espace, aux espaces de fonctions, aux polynômes, aux matrices,... La contrepartie de cette grande généralité de situations est que la notion d’espace vectoriel est difficile à appréhender et vous demandera une quantité conséquente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii xi 1 1 21 31 40 40 62 71 81 81 87 98 103 103 104 112 112 139 153 Chapitre 2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . .

2 Tripôle 2 QUADRIPOLES Les quadripôles jouent un rôle fondamental dans l'analyse de nombreux systèmes, spécialement en télécommunications ou en automatique. Dans ce chapitre, nous en étudierons plus complètement les propriétés. 6.1 Matrices représentatives des quadripôles On appelle entrée l'accès 11' et sortie l'accès 22'. On a supposé à la Fig. 6.1 que le courant sortant des bornes 1’ et 2’ sont identiques à ceux entrant en 1 et 2. Cette hypothèse implique en fait que le quadripôle