Matrice transposée

des années 1980 et 1990, les techniques s'affinent et se diversifient. Il est possible de distinguer des outils de gestion de l'information (1-4-1), d'organisation (1-42) et de communication (1-4-3). 1-4-1 Outils de gestion de l'information Transposées à l'environnement amont dès la création du concept de marketing achat, les études de marché sont utilisées pour positionner l'entreprise par rapport aux fournisseurs et aux autres entreprises acheteuses. Il s'agit d'évaluer l'offre et la demande

structure euclidienne canonique. Soit A et B les deux matrices de nies par : 01 1 1 11 0 1 0 ;1 0 1 A = B 1 1 1 1 C et B = B ;1 0 0 ;1 C @1 1 1 1A @0 1 1 0A 1 1 1 1 0 ;1 0 1 1. Calculer A2 et B 2 . En deduire les valeurs propres de A et de B . 44 ESCP 99 - Oral 2. Determiner les sous-espaces propres des endomorphismes a et b canoniquement associes a A et B . 3. Montrer qu'il existe une base orthonormee de R4 , dans laquelle les matrices associees a a et b sont toutes deux diagonales. 1. Un

S(t)A(0)S(t)−1. Montrer qu'il existe B : R→Mn(R) telle que A′(t) = A(t)B(t)−B(t)A(t), ∀ t ∈ R. 2. Soit B : R →Mn(R) continue telle que A′ = AB − BA. Monrer que A est semblable à B(0). Exercice 2. [ENS] ('18) Soient n > 1 un entier naturel, B ∈ Rn et A une matrice carrée réelle symétrique. On suppose que pour tout V ∈ Rn, tV AV > 0. On note S = {U ∈ Rn ; AU = B} et on suppose S 6= ∅. Soit X ′(t) = −AX(t) +B (1) On appelle solution de (1) toute fonctionX ∈ C 1([0,+∞[) qui véri�e (1). On note ‖·‖ la norme

efficacité commerciale et marketing, son histoire et ses dirigeants,…Tous ces critères créent le cadre et le champs dans lequel l’entreprise opérera le plus facilement et le plus efficacement. I- La matrice B.C.G. ou matrice d’allocation des ressources A- Présentation  La matrice B.C.G. prend comme indicateur d’attractivité le taux de croissance du marché et comme critères de performance concurrentielle la part de marché. La part de marché relative à chaque activité est calculée

normés 3 Nous notons la norme euclidienne de v ∈ Rn par n ||v|| = d(0, v) = 2 vi , i=1 de sorte que d(x, y) = ||x − y||. La norme est liée au produit scalaire canonique de Rn xi yi = xt y x, y = i=1 (où x est la matrice transposée de x ; c’est donc une matrice ligne, et il s’agit d’un produit matriciel de type « ligne × colonne » qui donne toujours un scalaire réel). Alors on a ||v|| = v, v . t 1.1. Proposition. La norme euclidienne a les trois propriétés suivantes. Pour tout

système de n équations (s'il y a n essais) à p inconnues (s'il y a p coefficients dans le modèle choisi a priori). Ce système s'écrit d'une manière simple en notation matricielle : y = X a + e {3} y est le vecteur des réponses. X est la matrice de calcul, ou matrice du modèle, qui dépend des points expérimentaux choisis pour exécuter le plan et du modèle postulé. a est le vecteur des coefficients. e est le vecteur des écarts. Ce système possède un nombre d'équations inférieur au nombre d'inconnues

principales (option centrée) du tableau à 3 lignes (individus) et 3 colonnes (variables) :  1 −1 0  A =  −1 2 −1  0 −1 1  Toutes les réponses seront données sous forme mathématique sans approximation numérique. 1 Quelle est la trace de la matrice A? Quel est son déterminant? 2 Quel est le rang de A? Donner une base de son noyau? 3 Pourquoi est-elle diagonalisable? 4 Donner ses valeurs propres avec leur ordre de multiplicité. 5 Donner une base de vecteurs propres orthonormée. 3 6 R3 est muni

relation (5.8) sur les coordonnées barycentriques. D(x,y) La matrice jacobienne Jk = D(ξ,η) de cette transformation se calcule simplement : ∂x ∂ξ ∂y ∂ξ Jk = ∂x ∂η ∂y ∂η = (xn2 − xn1 ) (yn2 − yn1 ) (xn3 − xn1 ) (yn3 − xn1 ) 1 − ξ − η = λ1 (x, y) Marc BUFFAT, UFR Mécanique, UCBLyon (5.14) D(ξ,η) D(x,y) est égale à l’in- (yn3 − yn1 ) (xn1 − xn3 ) (yn1 − yn2 ) (xn2 − xn1 ) (5.15) De même la matrice jacobienne de la transformation inverse verse de Jk : J−1

introduisons, par exemple, la matrice de variance-covariance de dimension L: associée à X1 ; :::; XL , (i; j) = E ((Xi E(Xi )) (Xj E(Xj ))) 6 6 6 6 =6 6 6 6 4 2 (1; 1) (2; 1) . . . (i; 1) . . . (L; 1) (1; 2) (2; 2) . . . (i; 2) . . . (L; 2) (1; j) (2; j) . . . (i; j) . . . (L; j) 7 7 7 7 7 (i; L) 7 7 7 . . 5 . (L; L) (1; L) (2; L) . . . 3 . . . . . . . . . . . . 14 CHAPITRE 1. PROCESSUS STOCHASTIQUES La dé…nition précédente exprime que cette matrice est symétrique, semi-dé…nie positive

stratégies A et B, laquelle est préférable ? Exercice 6 (d’après HEC 2003 voie E) Partie A a b Soient a et b deux réels strictement positifs et A la matrice définie par : A =  b a .    2 1) Calculer la matrice A − 2aA . 2) En déduire que si a ≠ b , la matrice A est inversible et calculer son inverse. 3) Si a = b , la matrice A est-elle inversible ? 4) Montrer que les valeurs propres de A sont a + b et a − b . Partie B Soit p un réel vérifiant 0 < p < 1 et soit q = 1 − p . On