Maximum de vraisemblance

de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Principes, méthode de moments 9.2. Moindres carrés ordinaires . . 9.3. Maximum de vraisemblance . . 2 7 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 13 14 17 17 20 22 25 27 28 31 35 35 37 37 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

formes linéaires suivantes : Logit (p1) = natural log (odds) = ln (1) Logit (p1 + p2) = natural log (odds) = ln (2) Les paramètres sont estimés par la méthode maximum de vraisemblance afin de maximiser les chances de reproduction des données dans le temps. La valeur ainsi que le signe des paramètres estimes indiquent la relation existant entre la variable dépendante et les variables explicatives. Une telle relation est

Paramètres par la Méthode du Maximum de Vraisemblance . . . . . . 26 2.1 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Matrices Hessiennes et Matrices d’information de Fischer . . . . . . . . . 28 2.1.2 Unicité du maximum global de la fonction de log-vraisemblance . . . . . . 30 2.2 Algorithmes de maximisation de la vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Propriétés Asymptotiques des Estimateurs du Maximum de Vraisemblance . . . . . . . 35 3.1 Convergence

réels  Estimation des Paramètres Les paramètres du modèle GARCH peuvent être estimés selon différentes méthodes : maximum de vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méthode des moments etc. (pour plus de détails, voir Gouriéroux, 1997). Les méthodes généralement retenues sont celles du maximum de vraisemblance (MV) ou du pseudo maximum de vraisemblance (PMV). L’avantage du PMV réside dans le fait que l’estimateur obtenu converge malgré une mauvaise spécification (supposée normale)

023 II. P.023 P.023 P.023 P.024 P.024 P.025 P.027 Chapitre III Echantillonnage I. Définition A. Echantillon Théorique Aléatoire Probabilisé B. Echantillon Théorique ou Observé P.027 P.027 P.027 3 4 II. III. IV. C. Vraisemblance d’un échantillon D. Notation des caractéristiques théoriques et empiriques Variable d’échantillonnage A. Etude de B. Etude de C. Moment empirique non centré d’ordre Loi de probabilité de variable d’échantillonnage fondé sur l’hypothèse de normalité

Interprétations géométriques . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Représentation des variables . . . . . . . . . . 1.3.2 Le coefficient de détermination R2 . . . . . . 1.4 Cas d’erreurs gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Estimateurs du maximum de vraisemblance . 1.4.2 Rappels sur les lois usuelles . . . . . . . . . . 1.4.3 Lois des estimateurs et régions de confiance . 1.4.4 Prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Exercices

paramètre (réel positif) inconnu. On tire un échantillon X1; ::;Xn i.i.d de X. (1) Reconnaître la loi de X. (2) Donner les caractéristiques (espérance et variance) de X et celle de la moyenne empirique (3) Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de α. (4) Montrer que l'estimateur obtenu est sans biais et convergent. (5) L'estimateur obtenu est-il efficace.

• Estimation ponctuelle 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Définition d’un estimateur Principales qualités d’un estimateur Estimateur sans biais de variance minimale Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao Méthode du maximum de vraisemblance (MV) Extension au cas de plusieurs paramètres 14 • Estimation par intervalle de confiance 14.1 Définition d’un intervalle de confiance 14.2 Exemples d’intervalles de confiance 14.3 Estimation et intervalle de confiance dans le cas d’une

égaux aux moments théoriques. Soit le système Solution du système est l’estimateur de obtenu par la méthode des moments. 2. La méthode du maximum de vraisemblance: Définition: Soit la valeur de qui maximise la fonction de vraisemblance vérifie : . On note est solution du système , alors l’EMV L est log L atteignent leur maximum (lorsqu’il existe) pour la même valeur fonction croissante). Pour faciliter les calculs, on utilise log L l’EMV est solution du système (log L est

Error(C) C est le terme d’erreur (aov seulement, modèle II) E.8 Modèles lm Modèle linéaire glm Modèle linéaire généralisé aov Analyse de variance lme Modèle linéaire à effets mixtes nlme Modèle non-linéaire nls Moindre carrés non-linéaires nlm Maximum de vraisemblance summary Résumé du modèle coefficients Récupère les coefficients d’un modèle fitted.values Recupère les prédictions d’un modèle residuals Recupère les résidus d’un modèle anova Calcule une table d’ANOVA predict Prédit des valeurs à partir