Mouvement brownien

fallu attendre les ann´es 1940 e e e e et les travaux du math´maticien japonais Itˆ Kiyoshi pour la d´finition de l’int´grale e o e e stochastique. Il s’agit d’´tendre la notion d’int´grale de Lebesgue aux processus stochase e tiques selon un mouvement brownien. On construira cette int´grale, et on donnera un e sens ` l’expression a T f (s, ω) dBs S o` f (t, ·) est un processus stochastique muni de propri´t´s de r´gularit´ suffisantes. u ee e e ` partir de la th´orie de l’int´gration, on construit

théorique du mouvement brownien en termes d'atomes proposée par Albert Einstein (1905). Jean Perrin a également recalculé le nombre d'Avogadro par plusieurs méthodes. Les molécules d'un corps sont en agitation permanente (sauf au zéro absolu). Cette agitation, appelée mouvement brownien, a été décrite la première fois par Robert Brown en 1821 dans les liquides (mais expliquée presque 100 ans plus tard). À l'état gazeux, les molécules sont très espacées, très agitées, avec des mouvements désordonnés

verrons un peu plus tard, cette limitation sur la taille des particules correspond à une limitation quand aux types d'interactions existant entre les grains : nous nous intéresserons à des assemblées de grains non browniens qui interagissent par contact. L’absence de mouvement brownien joue un rôle essentiel dans la répugnance au mélange que présentent, presque toujours, les milieux granulaires .Comme nous le verrons dans la deuxième partie ,l’agitation provoque généralement la ségrégation, c'est-à-dire

l’action, {St }t≥0 , est régi par l’équation différentielle stochastique (EDS en abrégé) dSt = St (µt dt + σt dWt ), S0 > 0 donné, où µt est un paramètre réel, et σt ≥ 0 ; le paramètre σ s’appelle la volatilité. Bien évidemment {Wt }t≥0 est un mouvement Brownien standard et nous notons {Ft }t≥0 sa filtration naturelle augmentée. En ce qui concerne les hypothèses, nous supposerons dans la suite que les processus r, µ et σ sont progressivement mesurables et que, pour tout T > 0, P − p.s., T 0 2 rt + |µt

. . . . . . . 3.A Preuve du Théorème 3.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . 3.B Preuve de Théorème 3.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . Mouvement brownien et intégrales stochastiques 4.1 Généralités sur les processus à temps continu . . . 4.1.1 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . 4.2 Quelques résultats sur les temps d’arrêt . . . . . . 4.3 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Martingale à temps continu . . . . . . . . . . . . . 4.5 Intégrale stochastique et Calcul d’Itô . .

.... 5 I-2-2 Mouvement Brownien simple : .......................................................................... 6 I-2-3 Mouvement Brownien standard : ....................................................................... 6 I-2-4 Mouvement Brownien avec drift : ...................................................................... 7 I-2-5 Processus d’Itô :.................................................................................................. 7 I-2-6 Mouvement Brownien géométrique :

l’économie. Chapitre 3 : Le virus brownien Dans ce chapitre, les auteurs décrivent le mouvement brownien qui fausserait les prévisions financières contemporaines. En effet les phénomènes financiers reposeraient sur le mouvement brownien qui pourrait anticiper les variations des cours des actions par exemple : c’est malheureusement trop beau pour être vrai… Robert Brown, botaniste britannique, étudie en 1827 le pollen au microscope et se persuade que son mouvement est indépendant de l’objet étudié

Habicht et lui envoie les articles qu’il publie pendant l’année 1905 concernant les fondements de la relativité restreinte, l’hypothèse des quanta de lumière et la théorie du mouvement brownien, qui ouvrent de nouvelles voies dans la recherche en physique nucléaire, mécanique céleste, etc. L’article portant sur le mouvement brownien prend appui sur des travaux qu’Einstein développe plus tard, et qui aboutissent à sa thèse, intitulée Eine neue Bestimmung der Moleküldimensionen (« Une nouvelle détermination

INSEA Devolder 5 PARTIE 3 : Calcul stochastique • • • • • • 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Motivation Processus stochastiques en temps continu Le mouvement brownien Intégration stochastique – Lemme de ITO Equations différentielles stochastiques Théorème de GIRSANOV INSEA Devolder 6 3 PARTIE 4 : Modèles en temps continu • 4.1 Modèle brownien additif et géométrique • 4.2 Modèle de BLACK SCHOLES • 4.3 Modèles de courbe de taux de VASICEK et HULL & WHITE • 4.4 Mesure forward neutre et tarification

Projet de Monte Carlo 1 Question1 : Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s) * Montrons que Wt est suit une N0,t En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0 De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t Soit r > 0 et s ≤ t On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0