N-uplet

(λi ) = B B B B @ p X i=1 i λi δ 1 1 λi .. . .. . 0 .. .. . i . δk−1 λi 0 C C C C C C C C C A avec ki = n , Ă i i i δ1 ,δ2 , . . . ,δk−1 = (0, . . . ,0,1 . . . ,1) et le nombre de 0 dans le dernier Ł (k − 1)-uplet est ”dim Eλi + 1”. Remarque 6.5.1 A une permutation pr`s des vecteurs de la nouvelle base, les diverses e formes r´duites d’une matrice d’ordre 3 sont : e Ě Ă Ł 1. Ě λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3 Ŕ dans le cas de trois valeurs propres.

Calculer ∑ i j et ∑ Correction i+ j=n i+ j+k=n i jk. [002904] Exercice 2905 Combinaisons avec répétitions p Soient n, p ∈ N. On note Γn le nombre de n-uplets (x1 , . . . , xn ) ∈ Nn tels que x1 + · · · + xn = p. 1. Déterminer Γ0 , Γ1 , Γ2 , Γn . n n n 2 p+1 p p+1 2. Démontrer que Γn+1 = Γn+1 + Γn (on classera les (n + 1)-uplets tels que x1 + · · · + xn+1 = p + 1 suivant que x1 = 0 ou non). p p 3. En déduire que Γn = Cn+p−1 . Correction [002905] Exercice 2906 Sommes de coefficients

indice_2 in iterable_2 [if condition_2] ... for indice_n in iterable_n [if condition_n] ] Chacune des conditions est facultative (et la condition n˚i s’applique à l’indice n˚i). Dans cette syntaxe, expression est évaluée en fonction des valeurs des n-uplets (indice1 , indice2 , . . . , indicen ) successifs (dans l’ordre lexicographique) et le résultat est la liste de ces évaluations de expression. Il faut bien comprendre la chronologie : pour chacune des valeurs possibles de indice1 (définies par iterable1

une distribution associée Tf par ∀ ϕ ∈ Cc∞ (Ω), < Tf , ϕ > := f (x)ϕ(x) dx. Ω En général, on écrit f au lieu de Tf tant qu’il n’y a pas de confusion possible entre la distribution et la fonction. Définition 6.1.5. 1. Un multi-indice α est un k-uplet (α1 , . . . , αk ), avec k ≤ d, sa longueur est |α| = α1 + · · · + αk et on note Dα l’opérateur différentiel défini par Dα = ∂xα11 ∂xα22 . . . ∂xαkk . 2. Soit Ω un ouvert de Rd et T ∈ D (Ω). Pour tout multi-indice α, Dα T désigne la distribution définie

trouver une bijection de l’ensemble de tous les arbres à n sommets sur un autre ensemble de cardinal connu égal à nn−2 . Naturellement, on pense immédiatement à l’ensemble de tous les (n − 2)-uplets (a1 , . . . , an−2 ) tels que 1 ≤ ai ≤ n. On veut donc coder de manière unique chaque arbre T par un (n − 2)-uplet (a1 . . . , an−2 ). Ce code, trouvé par Prüfer, figure dans la plupart des livres de théorie des graphes. Nous présentons ici une autre preuve due à Joyal, qui construit une bijection, moins

´el´ements diagonaux sont ´egaux `a la variance des variables Xi ; les ´el´ements hors-diagonaux sont les coefficients de covariance. La matrice de covariance est une matrice sym´etrique (Γ(X) = Γ(X)T ) et semi-d´efinie positive. En effet, pour tout d-uplets de nombre complexes (a1 , a2 , · · · , ad ), nous avons :   2 d ai (Xi − E[Xi ]) E ai a∗j Γ(X)i,j ≥ 0 = i=1 i,j Notons que, pour tout vecteur a (d´eterministe) : Γ(X + a) = Γ(X), et que, pour M une matrice (d´eterministe)

Soit f1 ,...,fd des fonctions r´ elles mesurables sur (E, E). Soit g une fonction bor´ lienne sur e e I d . La fonction h sur E d´ finie par h(x) = g(f1 (x), f2 (x), ..., fd (x)) est alors mesurable sur (E, E). R e Preuve. On peut consid´ rer le d-uplet (f1 , ..., fd ) comme une application de E dans I d , qu’on notera f : si x ∈ E, e R f (x) est le vecteur de I d dont les composantes sont f1 (x), ..., fd (x). Comme h = g ◦ f , en vertu de la proposition 3 il R suffit de d´ montrer que f est mesurable

relationnel 3.1 Conception du modèle logique 3.1.1 Concepts de base Un domaine D est un ensemble de valeurs Exemples : • booléen = {0, 1} • couleur = {rouge, vert,bleu} Le produit cartésien d'un ensemble de domaines D1, D2, ..., Dn est l'ensemble des n-uplets (ou tuples) tels que vi appartient à Di; Exemple : le produit cartésien de D1 = {0, 1} et D2 = {rouge, vert, bleu} est rouge rouge vert vert bleu bleu 0 1 0 1 0 1 P. Buche INA-PG UER-Informatique Bases de données 07/10/2005 page

deux parties, l'en-tête et le corps. L'entête est lui-même composé de plusieurs attributs. Par exemple, pour la relation "Client", on peut avoir l'en-tête suivant : Numéro Nom Prénom Email Quant au corps, il s'agit d'un ensemble de lignes (ou n-uplets) composée d'autant d'éléments qu'il y a d'attributs dans le corps. Voici donc quatre lignes pour la relation "Client" : Numéro 1 2 3 Nom Jean Marie Prénom Dupont Email jdupont@email.com Malherbe mama@email.com Jacques.nicolas@email.com Nicolas

{a,b}, {a,c}, {b,c} III.2 Calcul de A p n Activité 1 D'après vos connaissances en Mathématiques, 1) Définissez un arrangement de p éléments d'un ensemble E de n éléments. → Un arrangement de p éléments d'un ensemble E à n éléments est un p-uplet d'éléments distincts de E. p 2) Donnez la formule mathématique du nombre d'arrangements, noté A n → Le nombre d'arrangements de p éléments de l'ensemble E est représenté par la notation suivante : A p = n(n-1)(n-2)…(n-p+1) n Ou encore A p =