N-uplet

= 1 et b 2 = 9. Systèmes linéaires 309 Définition 85 Une solution du système linéaire est une liste de p nombres réels (s 1 , s 2 , . . . , s p ) (un p-uplet) tels que si l’on substitue s 1 pour x1 , s 2 pour x2 , etc., dans le système linéaire, on obtient une égalité. L’ ensemble des solutions du système est l’ensemble de tous ces p-uplets. Exemple 172 Le système x1 −2x1 − 3x2 + 4x2 + x3 − 3x3 = 1 = 9 admet comme solution (−18, −6, 1), c’est-à-dire x1 = −18 , x2 = −6 , x3 = 1 . Par contre

m´moire de tous les ordinateurs Micral 75. e e 2 8.2.16 Suppression La suppression de tuples d’une table se fait par la construction DELETE. Syntaxe (suppression de tuples) : DELETE FROM R WHERE F; 2 Cette requˆte supprime tous les n-uplets de R satisfaisant F . e Exemple 8.2.13 : La requˆte e DELETE FROM Ordinateur WHERE type = ’Goupil G4’; supprime tous les ordinateurs Goupil G4. 2 ´ 8.3. LE LANGAGE DE DESCRIPTION DE DONNEES 105 8.3 Le langage de description de

pr´cisons ceci dans la propri´t´ 3. e ee Propri´t´ 3. Soient M un message de taille n et SMk la source dont les e e e probabilit´s correspondent aux occurrences des k-uplets cons´cutifs de M . Alors e H(SMk ) log2 n k . Preuve. Il y a n k-uplets dans le message M . En outre l’entropie est maxik male pour le plus grand nombre de k-uplets distincts possibles d’occurrences ´gales. Dans ce cas la source ´quivalente serait d’au plus n caract`res tous e e e k 1 distincts et de probabilit´ d’occurrence n

dans les mêmes conditions, n fois de suite cette épreuve (n ∈ N {0}). Les n répétitions de l’épreuve sont indépendantes les unes des autres. À quoi ressemble l’univers du schéma de Bernoulli décrit ci-dessus ? L’univers Ω est ici un ensemble de n-uplets. Pour simplifier le problème supposons que l’expérience soit répétée trois fois. Dans ce cas, Ω = {(a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (b, a, a), (a, b, b), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b)}. La notation (a, a, b) signifie que lors de la première expérience

(4) Xi3 Xj + M (1, 3) i=1 1≤i<j≤n + M (2, 2)   1≤i<j≤n     + M (1, 1, 1, 1)   Xi2 Xj2 1≤i<j<k<l≤n Xi2 Xj Xk + M (2, 1, 1) 1≤i<j<k≤n X i Xj Xk Xl 99 8.3. Loi des grands nombres o` u M (i1 , . . . , ip ) d´esigne le nombre de 4-uplets (u1 , . . . , u4 ) de {1, . . . , n} en prenant i1 fois la valeur u1 , . . . , ip fois la valeur up . La lin´earit´e et l’ind´ependance des Xi donnent alors E[Sn4 ] =          n E[Xi4 ] M (4) E[Xi3 ]E[Xj ] + M (1, 3) + M (2, 1, 1)

Dans ce cas, la fonction Percept prend deux arguments, un ´etat de l’environnement et un ´etat interne: P ercepta : Σ × Sa → Pa Un agent hyst´er´etique a, dans un syst`eme d’action < Σ, Γ, Op, Exec, React >, peut donc ˆetre d´efini comme un n-uplet: a =< Pa , Sa , P ercepta , M ema , Decisiona > 12 Cette notion est tr`es courante en ´ethologie (McFarland 1990). ´ ETIQUES ´ 4.10. AGENTS HYSTER 207 Le comportement est alors plus complexe que dans le cas d’un agent tropique, puisqu’il

nombre d’épreuves. Deux présentations possibles de la v.a. multinomiale : – un vecteur aléatoire (N1, N2, ..., Nk) à composantes entières ; valeurs prises : des « k-uplets » (n1, n2, ..., nk) d’entiers vérifiant n1 + n2 + ... + nk = n ; – un ensemble ordonné (N1, N2, ..., Nk) de k variables aléatoires entières ; valeurs prises : les même k-uplets (n1, n2, ..., nk), appelés parfois « multi-entiers ». W X Y Z 130 multirégression Deux notations possibles : – P((N1, N2, ..., Nk) = (n1, n2, ...

n! n! : factorielle n, nombre de permutations d’un ensemble à n éléments Arrangements p An = n! (n − p)! (n, p) ∈ N2 avec p n p On note An le nombre d’arrangements de p éléments à partir d’un ensemble de n éléments (c’est-àdire le nombre de p-uplets composés d’éléments deux à deux distincts) 6 [1] Mathématiques Combinaisons p Cn (n, p) ∈ N2 avec p n On appelle combinaison (notée p Cn ) toute partie de cardinal p d’un ensemble à n éléments. n! = p!(n − p)! Combinaisons – Propriétés n− p

1 Ᏸ 0 x 1 Indépendance Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si et seulement si 2 ∀(x , y) ∈ ‫ ޒ‬: f(x , y) = g(x) · h(y) Plus généralement, un n-uplet de variables aléatoires ( X1 , X2 ,… , Xn) de densité de probabilité f est un n-uplet de variables aléatoires indépendantes si et seulement si la densité f du n-uplet est le produit des n densités marginales fi : © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. f ( x1 , x2 , … , xn ) = f1 ( x1 ) ⋅ f2 ( x2 ) · … · fn ( xn ) IV

Soit n ∈ N. Calculer ∑ i j et ∑ i+ j=n i jk. i+ j+k=n Correction [002904] Exercice 2905 Combinaisons avec répétitions Soient n, p ∈ N. On note Γnp le nombre de n-uplets (x1 , . . . , xn ) ∈ Nn tels que x1 + · · · + xn = p. 1. Déterminer Γ0n , Γ1n , Γ2n , Γn2 . p+1 p 2. Démontrer que Γn+1 = Γn+1 + Γnp+1 (on classera les (n + 1)-uplets tels que x1 + · · · + xn+1 = p + 1 suivant que x1 = 0 ou non). p . 3. En déduire que Γnp = Cn+p−1 Correction [002905] Exercice 2906 Sommes de coefficients du binôme