N-uplet

ensembles. On note E × F l’ensemble des ( couples ) (x,y) avec x ∈ E et ( ) y ∈ F . L’ensemble E × F s’appelle le produit cart´sien des ensembles E et F . e On d´finit de mˆme pour n ensembles E1 , . . . ,En , l’ensemble E1 × · · · × En form´ des n-uplets e e e (x1 , . . . ,xn ) avec x1 ∈ E1 , . . . ,xn ∈ En . Remarque 3. Ne pas confondre un couple de deux ´l´ments (x,y) avec la paire {x,y}. ee Remarque 4. Soit E un ensemble de r´f´rence, et P(x) une propri´t´ qui d´pend de l’´l´ment x ∈ E.

ensembles. On note E × F l’ensemble des ( couples ) (x,y) avec x ∈ E et ( ) y ∈ F . L’ensemble E × F s’appelle le produit cart´sien des ensembles E et F . e On d´finit de mˆme pour n ensembles E1 , . . . ,En , l’ensemble E1 × · · · × En form´ des n-uplets e e e (x1 , . . . ,xn ) avec x1 ∈ E1 , . . . ,xn ∈ En . Remarque 3. Ne pas confondre un couple de deux ´l´ments (x,y) avec la paire {x,y}. ee Remarque 4. Soit E un ensemble de r´f´rence, et P(x) une propri´t´ qui d´pend de l’´l´ment x ∈ E.

les variables du problème. Enfin, i représente l’indice de la iieme contrainte (i = 1, ..., p) et j l’indice de la j ieme variable (j = 1, ..., n). On notera, dans la suite, ce problème par (P). 11 Définition 1.4. Une solution réalisable est un n-uplet (x1 , ..., xn ) vérifiant toutes les contraintes. Définition 1.5. Une solution optimale est une solution réalisable qui donne à la fonction objectif la plus grande (problème de maximisation) ou la plus petite valeur possible (problème de minimisation)

lui-mˆeme une table particuli`ere ; on d´efinit donc ces objets dans l’ordre inverse. Tables. Une table associe `a un indice permettant de se rep´erer dans la table une expression. Cet indice n’est pas n´ecessairement un nombre entier, ni un n-uplet de tels nombres. On peut par exemple d´efinir une table T apr`es avoir lib´er´e T qui aux oui et non fran¸cais associent leurs ´equivalents en anglais. Les deux syntaxes propos´ees ci-apr`es sont ´equivalentes : > T :=’T’ : # lib`ere T > T[oui]

partie convexe de E. Soit (x, y) ∈ A2 . Par convexit´, l’image de e l’application continue [0, 1] −→ E t −→ tx + (1 − t)y est incluse dans A. Donc A est bien connexe par arc. Proposition 1. Soit A convexe. Alors pour tout n-uplet (x1 , · · · , xn ) d’´l´ments de A et tout ee n-uplet (α1 , · · · , αn ) ∈ [0, 1]n v´rifiant α1 + · · · + αn = 1, on a e n αi xi ∈ A. i=1 Preuve : On raisonne par r´currence sur n. Le cas n = 1 est ´vident. Supposons le r´sultat e e e ´tabli pour tout (x1 , · · · , xn

une base de E. Pour tout x ∈ E, il existe un unique n−uplet (α1 , . . . , αn ) ∈ Kn appelé les composantes de x dans la base B tel que n x = α1 e1 + · · · + αn en = k=1 αk ek . Démonstration : L’existence des composantes xi provient du caractère générateur de la famille. L’unicité du caractère libre. Plus précisément : La famille (e1 , . . . , en ) étant une base, elle est génératrice. Par conséquent pour tout x ∈ E, il existe un n−uplet α = (α1 , . . . , αn ) ∈ Kn tel que n x = α1 e1

lignes fantômes peut arriver si une transaction ajoute des données sans qu'une autre transaction ne s'en aperçoive. Cette dernière transaction peut posséder des informations contradictoires sur la base. Par exemple, une transaction récupère tous les t-uplets qui vérient un certain critère. Une autre transaction ajoute des lignes qui vérient ce critère. La même requête relancée une deuxième fois ne retrouve plus le même nombre de lignes. Temps t1 t2 t3 Sélectionne les lignes avec V = 10 Transaction T1

de a, le signe des d´riv´es f (m) (x). On pourra utiliser le d´veloppement en s´rie enti`re de f . e e e Exercice 9.7.169 Soient α1 ,... αk des entiers naturels non nuls premiers entre eux dans leur ensemble. Pour n ≥ 1, on note p(n) le nombre de k-uplets (a1 , . . . , ak ) ∈ Nk , tels que α1 a1 + · · · + αk ak = n. D´terminer un ´quivalent de p(n) en+∞. e e Exercice 9.7.170 Soit (an ) ∈ {−1, +1}N , on pose f (x) = ← Aller ` la page pr´c´dente a e e an n x , n! n=0 Aller ` la page suivante→ a +∞

fantômes peut arriver si une transaction ajoute des données sans qu'une autre transaction ne s'en aperçoive. Cette dernière transaction peut posséder des informations contradictoires sur la base. Par exemple, une transaction récupère tous les t-uplets qui vérient un certain critère. Une autre transaction ajoute des lignes qui vérient ce critère. La même requête relancée une deuxième fois ne retrouve plus le même nombre de lignes. Temps Transaction T1 t1 Sélectionne les lignes avec

map (copy, L) sage: def copyRec (L) ....: if type (L) == list : return map (copyRec, L) ....: else : return L Calcul mathématique avec Sage, §3.2 71 L’ordre lexicographique inverse est défini à partir de l’ordre lexicographique sur des n-uplets énumérés à l’envers en renversant l’ordre appliqué à chaque élément : P = (p0 , p1 , · · · pn−1 ) ⇐⇒ ∃r ∈ {0, · · · , n − 1} lexInv Q = (q0 , q1 , · · · qn−1 ) (pr+1 , · · · , pn−1 ) = (qr+1 , · · · , qn−1 ) et pr > qr . L’algorithme consiste