N-uplet

C m1 1 m2 2 mn n marg où les xi sont les inconnues, et les aij et les ci sont les coefficients. 18 CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES, PROGRAMMATION LINÉAIRES Résoudre un système linéaire de m équations à n inconnues, c’est trouver tous les n-uplets (x1 , . . . , xn ) qui vérifient simultanément les m équations. 1.4 Un système de deux équations à deux inconnues, (dit 2 × 2) est un système du type a1 x + b 1 y = c 1 a2 x + b 2 y = c 2 Dans ce chapitre, on appliquera les différentes méthodes

i (q i )  − D  ∑ q i  1  1        (4) L'optimum est alors définie par les n CPO de ce programme qui s'écrivent : 1 i n −C q (q1 ) = ... = −C q (q i ) = ... = −C q (qn ) = Dq (∑ q i ) Nous noterons q1*, ... qi*,... qn* le n-uplet qui satisfait ces équations. On a comme dans les cas analysés précédemment une égalisation des coûts marginaux de dépollution avec le dommage marginal. Polycopié DEERN, M. Glachant Les Instruments de Politique Environnementale 16 La taxe

; DA ) . 5.18. Lemme. Pour tout n ≥ 2 et tout i, 0 ≤ i ≤ n, il existe des équivalences de catégories canoniques Homn (D1 , . . . , Dn ; D) Homn−1 (D1 , . . . , Di , . . . , Dn ; Hom (Di , D)) , (D1 , . . . , Di , . . . , Dn ) désignant le n − 1-uplet dans lequel manque le facteur Di . Démonstration. Cela résulte de l’explicitation de l’équivalence de catégories de la proposition 5.2. 5.19. Lemme. Pour tout objet D de Der , il existe une Dia -équivalence naturelle Hom (Hot , D) D. Démonstration

x = C m1 1 m2 2 mn n marg où les xi sont les inconnues, et les aij et les ci sont les coefficients. 18 CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES, PROGRAMMATION LINÉAIRES Résoudre un système linéaire de m équations à n inconnues, c’est trouver tous les n-uplets (x1 , . . . , xn ) qui vérifient simultanément les m équations. 1.4 Les systèmes 2 × 2 Un système de deux équations à deux inconnues, (dit 2 × 2) est un système du type a1 x + b 1 y = c 1 a2 x + b 2 y = c 2 Dans ce chapitre, on appliquera les différentes

diagnostic 3.4.2 Diagnostic global au niveau système Il s’agit maintenant de fusionner les différents résultats de diagnostic local afin d’obtenir un diagnostic global qui détermine le mode de fonctionnement du système. Le mode du système Σ est un N -uplet qui rassemble les modes des N composants du système : 1 2 N mΣ (3.4) x = mx1 , mx2 , ..., mxN , Σ 1 2 N où MΣ représente l’ensemble des modes avec mΣ x ∈ M = M × M × ... × M possibles pour le système Σ. Les diagnostics locaux ∆i retournent un ensemble

Z) défini ci-dessus. A(HZ) n'est pas un arrangement simple car tous les hyperplans passent par l'origine. Cependant, on peut faire les remarques suivantes : Si les segments qui engendrent le zonotope Z sont en position générale (i.e. pour tout n-uplet de segments, les vecteurs directeurs associés engendre ê n ) alors l'intersection de (H Z ) avec un hyperplan ∏ (ne passant pas par l'origine) est un arrangement simple de dimension n-1. On notera GZ, l'ensemble des sous espaces affines de dimension

Ra2 . 6. Construire un intervalle de prévision à 95% de yn+1 connaissant : xn+1,2 = 3 et xn+1,3 = 0, 5. Exercice 3.7 (Modèle hétéroscédastique) On considère n observations y1 , . . . , yn d’une variable définie sur une certaine population, et n k−uplets xi (x′i = [xi1 , . . . , xik ]) correspondant aux valeurs prises par k autres variables sur les mêmes éléments de cette population. On suppose que pour tout i, yi est la valeur prise par une variable aléatoire Yi , et qu’il existe β ∈ Êk pour lequel

∼ = (2.5) 2.2 Nombres de Pontryagin Nous rappelons quelques notations usuelles [27]. Soit X un complexe de Poincaré rationnel orienté de dimension 4r muni d’une famille de classes de cohomologie pi ∈ H 4i (X; Q) avec 1 i r. Pour tout r-uplet de nombres entiers positifs ω = (ω1 , . . . , ωr ), nous notons r p(ω) = i=1 pi ωi . C’est une classe de cohomologie de degré 4|ω| où r |ω| = i=1 i.ωi . 2.2.1 Nombres de Pontryagin normaux Définition 2.14 Soit M une variété

naturel non nul et (x1 , · · · , xn ), (y1 , · · · , yn ) deux n-uplets de r´els e strictement positifs. Justifier pour tout r´el λ > 0, l’in´galit´ : e e e λp xi yi ≤ p i=1 3. n n xp i i=1 1 + q qλ n q yi i=1 a. Soient a et b deux r´els strictement positifs. D´terminer le minimum de la fonction v e e d´finie pour tout x > 0 par : e xp b v(x) = a + q p qx b. En d´duire l’in´galit´ de H¨lder pour tout couple de n-uplets de r´els strictement e e e o e positifs n n 1 p n q yi i=1

ensembles. On note E × F l’ensemble des ( couples ) (x,y) avec x ∈ E et ( ) y ∈ F . L’ensemble E × F s’appelle le produit cart´sien des ensembles E et F . e On d´finit de mˆme pour n ensembles E1 , . . . ,En , l’ensemble E1 × · · · × En form´ des n-uplets e e e (x1 , . . . ,xn ) avec x1 ∈ E1 , . . . ,xn ∈ En . Remarque 3. Ne pas confondre un couple de deux ´l´ments (x,y) avec la paire {x,y}. ee Remarque 4. Soit E un ensemble de r´f´rence, et P(x) une propri´t´ qui d´pend de l’´l´ment x ∈ E. On peut