Nilpotent

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définit l’application f par : f : E x → Kp → w1 (x), . . . , wp (x) Montrer que rg(f ) = p. p 2. Montrer que Ker(f ) = Ker(wk ). k=1 3. En déduire que p Ker(wk ) dim = n − p. k=1 8. (Réduction d’un endomorphisme nilpotent) Soit u un endomorphisme d’un Cespace vectoriel E tel que uk = 0 et uk−1 = 0 (où k ∈ N∗ ). Soit x0 ∈ E tel que uk−1 (x0 ) = 0. 1. Prouver que (x0 , u(x0 ), . . . , uk−1 (x0 )) est une famille libre. On note pour la suite F = Vect(x0 , . . . ,

calculer l’exponentielle eB lorsque B est un bloc triangulaire ea de la forme   λ ∗ ... ∗ . ..  . . . 0 λ B=. .  = λI + N ∈ Mp (K), .. ... ∗  . . 0 ... 0 λ   0 ∗ . ..  o` I est la matrice unit´ et N une matrice nilpotente N =  . u e . . 0 ... 0 triangulaire sup´rieure. La puissance N n comporte n diagonales nulles a partir e ` de la diagonale principale (celle-ci incluse), en particulier N n = 0 pour n ≥ p. On obtient donc   1 ∗ ... ∗ . .. 

, .) est localement lipschitzienne en ses deux variables, il est montré que la suite de fonctions x[i] (θ) converge, dans C([0, T ]) pour un certain T ∈]0, h], vers la solution de (6.109). L’étude de stabilité fait intervenir une algèbre de Lie nilpotente associée à (6.110) et est menée grâce à une transformation de Liapounov particulière. La stabilisation est également étudiée. 6.9 Propriétés structurelles La commandabilité des systèmes à retards présente trois principales différences par

p , avec a, b ∈ R. Exemple 193  1 1  0 1 Soit A =  0 0  0 0   1 0     1 0 . On pose N = A − I =    3 0 1 0 1 2 1 0 à-dire il existe k ∈ N tel que  0 0  0 0 N2 =  0 0  0 0 1 0 0 0 1 2 0 0  1  1 . La matrice N est nilpotente (c’est3  0 N k = 0) comme le montrent les calculs suivants :    2 4 0 0 0 6      0 6 3 0 0 0 0  N = et N 4 = 0.   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Comme on a A = I + N et les matrices N et I commutent (la matrice identité commute avec