Nilpotent

ÔÔ Ð Ñ Ò º Ù Ò ¾¼¼¿ Ð Ö ÒÖÐ ¦ Ð ½¿℄ On a De plus, si ´ ¾ car il contient le neutre ½ . et si Ü , on a ¾ ´ µÜ ¾ ´ ܵ ´Ü µ ´ ܵ ´Ü µ Ü   Ü Ü   Ü Ü´   µ   µÜ ¾¿ ce qui prouve que et est donc un sous-anneau. Ü´ µ µ   § ALGº¿ (Ü nilpotent ´½ ܵ inversible) ´ µ ËÓ Ø Ü ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÐÔÓØ ÒØ ³ÙÒ ÒÒ Ù ¸ ³ ×ع ¹ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ø Ð ÕÙ³ Ð Ü ×Ø Ô ´½   ܵ ×Ø ÒÚ Ö× Ð Ø ÓÒÒ Ö ×ÓÒ ÒÚ Ö× Ò ÓÒ Ø ÓÒ Üº ¦ Ð ½℄ La formule des anneaux nous permet d’´ecrire ´½   § ALGº¿ ËÓ Ø ´Ü¼ Ý ¼ µ ܵ´½ · Ü · ܾ

D´finition (El´ments nilpotents) e e Soit A un anneau non r´duit ` {0}. Soit a un ´l´ment non nul de A. e a ee On dit que a est nilpotent s’il existe un entier naturel n tel que an = 0. Avec ces notations, ∀ p ≥ n, ap = 0. Le plus petit entier n tel que an = 0 est appel´ indice de nilpotence de a. e Propri´t´s et exemples e e – Si a est nilpotent, alors a est un diviseur de 0. Il n’est donc pas inversible. – Si a et b commutent et sont nilpotents, a + b est nul ou nilpotent. – Soit (A, +

l’existence de e e e v ∈ L(F, E) tel que u ◦ v = IF . 12. 13. Soient E un K-espace vectoriel, u ∈ L(E) et Ψu : L(E) v −→ −→ L(E) u◦v Montrer que les deux propositions suivantes sont ´quivalentes : e ∗ tel que un = 0 (on dit que u est nilpotent). (i) Il existe n ∈ N (ii) Il existe n ∈ N∗ tel que Ψn = 0. u Soit u ∈ L(E). On suppose que pour tout x ∈ E, u(x) et x sont colin´aires. e e 1) On suppose que E poss`de une base (e1 , . . . , en ) (E est de dimension finie). D´montrer que u est une

01249 ] [correction] Soient λ1 , . . . , λn des éléments de K deux à deux distincts et D = diag(λ1 , . . . , λn ). Déterminer les matrices de Mn (K) commutant avec D. an cn bn dn Exercice 9 [ 02687 ] [correction] Soient A, B ∈ Mn (R) où B est nilpotente et commute avec A. Montrer que A et A + B sont simultanément inversibles. 2, bn + c n an + dn Exercice 4 [ 03422 ] [correction] Soient A, B ∈ Mn (K) vérifiant AB = A + B Montrer que A et B commutent Exercice 10 [ 00697 ] [correction] On suppose

b avec f 2 n=0 2n+1 2 2 = 1 2π π f (t)2 d t = −π π 1 π dt = 1 0 1 π2 2 = 8 n=0 (2n + 1) +∞ Ainsi Exercice 2 : un syst`me diff´rentiel. e e 1. Il vient χA (X) = (X − 2)2 de sorte que B = A − 2I2 est nilpotente par le th´or`me de Cayley-Hamilton. e e Il en d´coule que exp(tB) = I2 + tB = (1 − 2t)I2 + tA puique B 2 = 0 de sorte que e +∞ tn B n n=2 n! = 0. Il en r´sulte que exp(tA) = e2t (1 − 2t)I2 + tA e 2. Par r´sultat de cours, la

sous-espace vectoriel de M n(R). - Trouver une matrice diagonale D et une matrice inversible P telles que P−1AP = D. - Déterminer les matrices Y qui commutent avec D et en déduire celles qui commutent avec A. � Exercice 13. Soit A ∈ Mn(C) une matrice nilpotente, c’est-à-dire qu’il existe p ∈ N∗ tel que Ap = 0. Montrer que 0 est l’unique valeur propre de A. La réciproque est-elle vraie ? �MAT234 Corrigé exercice 3 Feuille TD Algèbre 3 1. Facile, on applique la formule des probabilités totales, ou on fait

Puisque le cardinal d’une famille libre est inférieur ou égal à la dimension de l’espace, on en déduit que p fn = fn−p ◦ fp = 0. p n et fn = 0. 2) Supposons qu’il existe h ∈ L (E) tel que h2 = f. Alors h2p−2 = fp−1 = 0 et h2p = fp = 0. Donc h est nilpotent d’indice p ′ = 2p − 1 ou 2p. On en déduit que 2p − 1 n ou 2p n et donc 2p − 1 n (car 2p n ⇒ 2p − 1 n). Si R(f) = ∅, alors 2p − 1 n. 3) On sait que quand x tend vers 0, n−1 √ 1 + x = (1 + x)1/2 = 1 + k=1 k xk + O(xn ) 1/2 où, pour k ∈ N∗ ,

déduire que, si f (n) = d|n g(d), alors g(n) = d|n μ( d )f (d). Somme des puissances dans /p Soit p un nombre premier et k un entier naturel. Que vaut la somme x /p x k ? Somme d’un élément nilpotent et d’un élément inversible commutant On se place dans un anneau quelconque. Montrer que la somme d’un élément nilpotent et d’un élément inversible qui commute avec lui (en particulier, l’unité) est inversible. Anneaux connexes Montrer qu’un anneau dont tous les éléments sont indempotents est commutatif. Montrer

dans les bases α de E et γ de G, est C = BA. Autrement dit : Matα,γ (g ◦ f ) = Matβ,γ (g) Matα,β (f ). Matrice d’une application nilpotente Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1, muni d’une base e. Soit f un endomorphisme de E, de matrice A dans la base e. Alors l’application f est nilpotente si et seulement si la matrice A est nilpotente. Si f est nilpotente, il existe une base (ε) de E telle que Matε (f ) est strictement triangulaire supérieure. Matrice d’un isomorphisme Proposition 17

0n. Exercice 14. [Mines] ('21) 1. Soit M ∈M3(C). Montrer que, pour tout p > 0, il existe P ∈ G`3(C) et T ∈ M3(C) triangulaire supérieure telles que T = P−1MP et, pour tout 1 6 i < j 6 n, |ti,j | 6 1 p . 2. Soit A ∈ M3(C). Montrer que A est nilpotente si et seulement s'il existe une suite (Ap)p∈N telle que(i). pour tout p ∈ N, Ap est semblable à A, (ii). lim p→+∞ Ap = 0. Exercice 15. [É.N.S.] ('21) Soit P ∈ R[X]. On note toujours P : R → R la fonction polynomiale associée à P . 1. Déterminer