Nilpotent

deux rationalisations de X, il existe une équivalence d’homotopie h : X0 → X0 unique à homotopie près telle que l h ◦ l. Remarque : il existe une rationalisation des espaces non simplement connexes mais dont le groupe fondamental est nilpotent et agit de manière nilpotente sur les groupes d’homotopie. Cependant nous n’en ferons pas usage ici. Exemple 3.2 La grassmannienne orientée BSO(k), classifiant des fibrés vectoriels orientés de rang k, admet pour rationalisation (si k 1) un produit d’espaces d’Eilenberg-Mac

valeurs propres a e de M , chacune ´tant r´p´t´e un nombre de fois ´gal ` sa multiplicit´. e e ee e a e (4.7) Une matrice nilpotente est une matrice carr´e N telle que N p = 0 pour un certain entier p. e (4.8) Une matrice triangulaire ` diagonale nulle est nilpotente. a (4.9) Si M est une matrice carr´e qui peut s’´crire sous la forme M = ∆ + N avec N nilpotente et e e ∆N = N ∆, alors on peut appliquer la formule du binˆme pour calculer les puissances de M ` partir o a de M r = (N

À l'usage des élèves de la classe * /  I G (Lecture déconseillée, en premier abords, aux élèves / ).. C 1 À la poursuite de celui qui détermine 1 I Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

p , avec a, b 2 R. Exemple 10 0 1 1 B B0 1 Soit A = B B0 0 @ 0 0 1 2 1 0 1 0 1 0 C B C B 1C 0 . On pose N = A ° I = B C B 3A @0 1 0 à-dire il existe k 2 N tel que 0 0 0 B B0 0 N2 = B B0 0 @ 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 C 1C C. La matrice N est nilpotente (c’est3C A 0 N k = 0) comme le montrent les calculs suivants : 1 0 1 2 4 0 0 0 6 C B C B C 0 6C 3 B0 0 0 0C C N =B et N 4 = 0. C C 0 0A @0 0 0 0A 0 0 0 0 0 0 Comme on a A = I + N et les matrices N et I commutent (la matrice identité commute avec

0 – an = – a−n n’a pas de sens si a n’est pas inversible pour ×. ´ e D´finition 12.17 : El´ment nilpotent e Soit un anneau (A, + ,×). On dit qu’un ´l´ment a ∈ A (a = 0) est nilpotent s’il existe un entier ee n ∈ N tel que an = 0. Le plus petit entier n v´rifiant an = 0 s’appelle l’indice de nilpotence de l’´l´ment a. e ee Remarque 123. Si l’anneau A est int`gre, il n’y a pas d’´l´ment nilpotent dans cet anneau. e ee Exercice 12-20 Soit un anneau (A, + ,×) v´rifiant : e ∀x ∈ A, Montrer que l’anneau

= 0 – a−n n’a pas de sens si a n’est pas inversible pour ×. ´ e D´finition 12.17 : El´ment nilpotent e Soit un anneau (A, + ,×). On dit qu’un ´l´ment a ∈ A (a = 0) est nilpotent s’il existe un entier ee n ∈ N tel que an = 0. Le plus petit entier n v´rifiant an = 0 s’appelle l’indice de nilpotence de l’´l´ment a. e ee Remarque 123. Si l’anneau A est int`gre, il n’y a pas d’´l´ment nilpotent dans cet anneau. e ee Exercice 12-20 Soit un anneau (A, + ,×) v´rifiant : e ∀x ∈ A, x2 =

= 0 – a−n n’a pas de sens si a n’est pas inversible pour ×. ´ e D´finition 12.17 : El´ment nilpotent e Soit un anneau (A, + ,×). On dit qu’un ´l´ment a ∈ A (a = 0) est nilpotent s’il existe un entier ee n ∈ N tel que an = 0. Le plus petit entier n v´rifiant an = 0 s’appelle l’indice de nilpotence de l’´l´ment a. e ee Remarque 123. Si l’anneau A est int`gre, il n’y a pas d’´l´ment nilpotent dans cet anneau. e ee Exercice 12-20 Soit un anneau (A, + ,×) v´rifiant : e ∀x ∈ A, x2 =

On a A = I3 +J avec J = 0 0 1, de plus J 2 = K = 0 0 0, et J 3 = O3 . Comme I3 ×J = J ×I3 , 0 0 0 0 0 0 on peut utiliser le binôme de Newton :   n(n−1) n 1 n n k n(n − 1) 2   An = J = I3 + nJ + K = 0 1 n . k 2 k=0 0 0 1 ) des éléments nilpotents, par exemple : A = III) 1) Matrices carrées inversibles Définition L’ensemble ( n ( ), +, ×) a une structure d’anneau, on peut donc s’intéresser aux éléments inversibles de cet anneau. C’est à dire aux matrices M ∈ n ( ) pour lesquelles

les matrices A et B carrées d’ordre n ? A2 − B 2 (B − A)2 A2 − 2AB + B 2 (A − B)A − (A − B)B A2 − AB − BA + B 2 . Exercice 38 (Matrices nilpotentes) On dit qu’une matrice A ∈ Mn (K) est nilpotente3 d’ordre q si Aq−1 = 0 et Aq = 0. Donner un exemple de matrices carrées 2 × 2 et 3 × 3 nilpotentes d’ordre 2. Donner ensuite un exemple de matrice carrée nilpotente d’ordre 3. Exercice 39 Déterminer deux matrices A et B de M2 (R) tels que : AB = 0 et BA = 0. Exercice 40 (Matrice d’adjacence d’un graphe)

e2 , e3 ) est bien une base. 1   0 2 1 Exercice 23.8 1. On décompose A = I3 + N où N =  0 0 2  . On applique alors le binôme de Newton 0 0 0 car I3 N = N I3 (l’identité commute avec toutes les matrices). Tout cela marche bien car N est nilpotente (Nihil —11/33— G´ H -E M -( ) 2009  1. LES BASIQUES  0 0 4 Potent), en effet N 2 =  0 0 0  et N 3 = ( ). Ainsi 0 0 0 n n CHAPITRE 23. MATRICES  An = k=0 2 ∁k N k I n−k = n k=0 ∁k N k n = = ∁k N k (ceci même si