Nilpotent

aussi par B ? a 38 CCP 72 12 points Soit E un espace vectoriel euclidien ( de dimension finie) et f et g dans L(E) telles u’il existe α v´rifiant e g ◦ f − f ◦ g = αf 1. Exprimer g ◦ f k − f k ◦ g en fonction de α,k et f 2. Montrer que f est nilpotent. (Indication: utiliser Φ: L(E) → L(E) h → g◦h−h◦g CCP 73 8 points n 1, P (X) = X 2n − 2X n cos(na) + 1 Factoriser en produit de polynˆmes irr´ductibles dans C[X] puis dans R[X] o e Ann´e 2007 e CCP 74 4 2 −1 1 Calculer An CCP 75 Soit

endomorphisme sur un C-espace vectoriel est trigonalisable. Proposition 16 : Soit F un sous espace vectoriel stable par f et posons g = f/F . f trigonalisable =⇒ g trigonalisablale. Proposition 17 : E de dimension n. Un endomorphisme u de E est nilpotent si et seulement χu = (−1)n Xn . s.hajmi@gmail.com 

1/k2 . . . . . . . . . . . . . . . . . o Pb 11 : M´thode du point fixe et de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb 12 : Suites des solutions d’une famille d’´quations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb 13 : Endomorphismes nilpotents en dimension 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 14 : Matrices de projecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 15 : Majorations d’int´grales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb

stables par f , E1 ...Ep tels que : p E= Ei . En d´duire une “bonne” formule de calcul de f. e i=1 Exercice 712 Soit E un K espace vectoriel de dimension finie n On note q ∈ N∗ l’indice de nilpotence de f, i.e. : 1. Soit f ∈ L(E) nilpotente. q = inf{j ∈ N∗ |f j = 0}. e 1. Montrer que : ∃x0 ∈ E tel que {x0 , f (x0 ), ..., f q−1 (xo )} soit libre. En d´duire q n. 2. Soit r = dim Ker(f ). Montrer que r > 0 et que n r q n + 1 − r. 20 Matrices 20.1 G´n´ralit´s

+ 1. Nous avons (a − 1)2 = 2, donc a admet un polynôme minimal et Πa /(X − 1)2 − 2. Si deg Πa = 1, alors Πa = X + α, avec α ∈ Q, or Πa (a) = 0 et donc a = −α ∈ Q, ce qui est impossible, donc Πa = (X − 1)2 − 2 = X2 − 2X − 1. 2. u un endomorphisme nilpotent d’indice p ; u p = 0 et u p−1 = 0, le polynôme minimal de u est donc Πu = X p . 3. a = 1 2 3 4 M2 (R) étant une R-algèbre. Montrons maintenant que dim K[a] = n, pour cela on vérifie que cette famille est libre. n−1 k=0 n−1 Soit (ak )0≤k≤n−1

un endomorphisme nilpotent, et sur F un endomorphisme injectif. Puis, montrer que : Fs(u) ∩ G = {0}. e 3. Montrer que si Fn = Fn+1 pour un n ∈ N, alors Fn = Fn+p ∀p ∈ N (on note r(u) le plus petit entier n v´rifiant Fn = Fn+1 ). Montrer que u induit une surjection de F sur lui-mˆme et que : e E = F + Gr(u) . 4. Lorsque s(u) et r(u) existent, on dit que u est de caract`re fini. Montrer qu’en ce cas, F et G sont suppl´mentaires, e e stables par u, u induit un endomorphisme nilpotent sur G et un automorphisme

sous-espace caractéristique est égal au sous-espace propre correspondant. La restriction de f à un sous-espace caractéristique est un endomorphisme de ce sous-espace. La restriction de f − λi Id au sous-espace caractéristique Ker((f − λi Id)αi ) est nilpotente. 2.7 Trigonalisation Un endomorphisme f d’un C-espace de dimension finie est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire. Une matrice carrée est triangulable

] [correction] Soient F, G, F , G des sous-espaces vectoriels de E tels que F ∩ G = F ∩ G . Montrer que (F + (G ∩ F )) ∩ (F + (G ∩ G )) = F Exercice 17 X MP [ 03116 ] [correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E) nilpotent. Soit S un sous-espace vectoriel de E stable par u et tel que E = S + Imu Montrer que S = E. Exercice 19 [ 01697 ] [correction] Soient A et B deux parties d’un K-espace vectoriel E. Montrer que Vect(A ∪ B) = Vect(A) + Vect(B). Sous-espaces

peut s’écrire sous cette forme, grâce à la réduction de Jordan. Proposition 1.2.2 det eA = etrA pour toute matrice A. Preuve. Grâce à la décomposition de Jordan on a que A est semblable à une matrice J à p blocs Ji = λi I +Ni où Ni est une matrice nilpotente. Or, det(eJi ) = det(eλi I+Ni ) = eλi mi det eNi = eλi mi . Par conséquent det(eA ) = det(M eJ M −1 ) = det(eJ ) = det(eJ1 )...det(eJp ) = etrJ1 ...etrJp = etrJ = −1 etrM AM = etrA . Théorème 1.2.3 La solution générale de Y ′ (t) = AY (t) est etA

,+) ne sont pas isomorphes. 14.19 Éléments nilpotents d’un anneau Soit A un anneau. Un élément a de A est dit nilpotent si et seulement s’il existe n ∈ N∗ tel que a n = 0. a) Soit (a,b) ∈ A2 . Montrer que, si a est nilpotent et si ab = ba, alors ab est nilpotent. b) Soit a ∈ A nilpotent. Montrer que 1 − a est inversible dans A et exprimer (1 − a)−1 . c) Soit (a,b) ∈ A2 . Montrer que, si a et b sont nilpotents et ab = ba, alors a + b est nilpotent. 14.20 Anneaux intègres finis Montrer que