Nilpotent

qui est inversible puisque matrice de passage ! Bien sûr son déterminant est connu. 5a) Méthode hors programme en PC . b) Analyse : si f est nilpotente d’ordre n son polynôme caractéristique est (¡1)nXn . Donc P = Xn : Ce qui donne l’allure de la matrice à chercher. Construire la base demandée est alors un grand classique sur les matrices nilpotentes: On commence par utiliser l’hypothèse: on prend un vecteur e1 tel que f n¡1(e1) soit non nul, on alors f n (e1) = 0 et on prend les vecteurs f

E. Montrer que : 1) (f non injective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à gauche). 2) (f non surjective) ⇔ (f = 0 ou f diviseur de zéro à droite). no 22 (*** I) : fn = 0. Soient E un espace de dimension finie n non nulle et f un endomorphisme nilpotent de E. Montrer que  8 no 23 (***I) : Soient A ∈ M3,2 (R) et B ∈ M2,3 (R) telles que AB =  2 −2 puis calculer BA.  2 −2 5 4 . Justifier l’existence de A et B 4 5 no 24 (**I) : (Noyaux itérés) Soient E un espace vectoriel et f un

Ir+p . 4. Lorsque E n’est pas de dimension finie, existe-t-il un plus petit entier naturel r tel que Kr = Kr+1 ? TROISIEME PARTIE Dans cette partie, on suppose E de dimension finie et on consid`re u un endomorphisme e ∗ tel que um = 0. de E nilpotent, c’est ` dire qu’il existe m ∈ IN a 1. D´terminer Km et Im (on reprend les notations de la partie pr´c´dente). e e e 2. En raisonnant par l’absurde, montrer que l’entier r d´fini en Deuxi`me partie 3. e e (a) est inf´rieur ou ´gal ` m. e e a 3. En

minimal de degré égal à 1, c'est-à-dire que u = λId si, et seulement si, πu (X) = X − λ. Remarque 17.2 On a Exemple 17.1 On rappelle qu'un endomorphisme q−1 q u ∈ L (E) est dit nilpotent s'il existe un entier q ≥ 1 tel que u ̸= 0 et u = 0 (q est l'indice de nilpotence de u). Un endomorphisme u ∈ L (E) est nilpotent d'indice q ≥ 1 si, et seulement si, πu (X) = X q . 438 Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Applications Exemple 17.2 On rappelle qu'un projecteur est un endomorphisme

Elle est diagonale par blocs. Dans ce cas : , l’induit de sur . Remarque importante : L’induit est de c…. 2. Polynôme d’endomorphisme a. Puissance d’endomorphisme Définition : Si , , , … , ( avec ) Définition : Si . Définition : est dite nilpotente si \ b. Polynôme d’endomorphisme Soit , soit donc . Proposition : , est une -algèbre Exemple : c. Propriété algébrique de polynôme d’endomorphisme Théorème : Si , Est un morphisme de groupe de -algèbre. , et Définition : est

vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1, n]], Tr(Ak ) = 0. Correction [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant f g − g f = f . Montrer que f est nilpotent. Correction [005659] Exercice 10 **** Soit E un C-espace vectoriel

morphisme de 3.A.3, on conclut que E(A + B) = P −1 E(DA )E(DB )P = P −1 E(DA )P P −1 E(DB )P = E(A)E(B) Enfin, comme DA + DB = DB + DA , on peut reprendre ceci pour obtenir E(A + B) = P −1 E(DB )E(DA )P = E(B)E(A) 4 Exponentielle de matrices nilpotentes. A.1 Soit j ∈ [1, k] ; si x ∈ ker(Aj−1 ) alors Aj−1 x = 0 et donc, en composant par A, Aj x = A0 = 0 ce qui montre que x ∈ ker(Aj ). On a donc ker(Aj−1 ) ⊂ ker(Aj ). Supposons, par l’absurde, que l’on ait une ´galit´. Soit alors x ∈ Cp ; on a

8 9 Applications lin´aires e 1 u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F , E) sont tels que v ◦ u = idE . Prouver que F = Im(u) ⊕ ker(v). Que peut–on dire de u ◦ v ? X PC* 2001 Soit M ∈ Mn (R) avec rg(M) < n ; prouver que M est ´quivalente ` une matrice nilpotente. e a D´terminer les valeurs et vecteurs propres des endomorphismes de e E = Cn [X] : (1) ∆1 (P ) = P (2X + 1) (2) ∆2 (P ) = (X 2 − 1)D(P ) − nXP (3) ∆3 (P ) = P + P (jX) + P (j 2 X) (4) ∆4 (P ) est le reste de la division de X n P par (X − a0 )

Im(f ) ou f 2 L(E; F ). Montrer qu'il existe g 2 L(F; E ) unique telle que : Ker(g) = F 0 ; Im(g) = E 0 ; f g f = f et g f g = g. 94 CHAPITRE 5. ALGEBRE LINEAIRE, ENONCES 2 Un endomorphisme u est dit nilpotent s'il existe un entier q non nul tel que u = 0. Il est alors dit nilpotent d'ordre p>1 si u = 0 et u ?1 6= 0. q p p 48. Soient f et g deux endomorphismes de l'espace vectoriel E tels que : g = g f g et f = f g f . Montrer E = Ker(f ) Im(g) et que f; g; f g; g f ont m^me rang. e 49

veut pas dire que B = C Si AB = O cela ne veut pas dire que A = 0 ou que B = 0 Propriété de la multiplication 1. (AB)C = A(BC) 2. A(B + C) = AB + AC 3. (A+B)C = AC + BC 4. K(AB) = (kA)B = A(kB) Matrice idempotente : A2 = A Matrice nilpotente : An = 0 Indice de nilpotente : plus petit entier de n où An = 0 Transposée d'une matrice : où on échange les lignes et les colonnes Aij alors ATji Aide à définir si la matrice est symétrique= aij = aji DONC AT = A ou antisymétrique= aij = -aji DONC AT = -A