Nilpotent

dim(Ker( f p )) + dim(Im( f p )) = dim(E). On en déduit que Ker( f p ) ⊕ Im( f p ) = E. Exercice 13.3 : Indice de nilpotence Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit f un endomorphisme de E. Nous supposerons que f est nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe s ∈ N∗ tel que f s = 0 . On appelle indice de nilpotence de f l’entier r ∈ N∗ défini par r = min{s ∈ N∗ | f s = 0}. 1. Soit x ∈ E \ Ker( f r−1 ). Montrer que la famille (x, f (x),. . . , f r−1 (x)) est libre. 2. En

Calculer B 2 , B 3 puis B n où n est un entier naturel. (On dit que B est nilpotente.) 3. On sait que le produit de matrices ne commute pas, en général. La formule du binôme est-elle valable pour une expression matricielle de (P + Q)n ? Qu’en est-il pour (I + B)n ? 4. Déterminer l’expression de An . 5. Montrer que A−1 = I − B + B 2 . 3.10. Soit A une matrice carrée de taille n. Supposons que A = In − N où N est une matrice nilpotente d’ordre k, i.e. N k−1 = On et N k = On . Montrer que A−1 = In + N + N

⎞ ⎛ 1 n n(n+1) 2 An = ⎝ 0 1 n ⎠. 0 0 1 On vérifie que ça marche avec n = 1. La formule est valable aussi avec n = 0. Remarque. Une matrice N telle que N k = On pour quelque k est une matrice nilpotente. Une matrice triangulaire dont tous les éléments de la diagonale sont nuls est toujours une matrice nilpotente. Application à l’étude de suites un vn , avec n ∈ N. On suppose qu’il existe A ∈ M3 (R) wn telle que ∀n ∈ N, Xn+1 = AXn . On montre alors, par récurrence : ∀n ∈ N, Xn = An X0 . Et le calcul

O 13 U F R -M I 1.2. REDUCTION DE JORDAN 1 0 : : : 0 B0 a23 : : C B C B: : : : : C B C B: : : : : C; B C B: : : 0 C B C @: : an 1n A 0 : : : : 0 avec 2 | et aii+1 2 f0; 1g 8i 2 1; n 1: La matrice N de la dé…nition 1.25 est une matrice nilpotente. En e¤et le polynôme caractéristique de N est PN (x) = ( 1)r xr : D’ après le théorème de Cayley-Hamilton on a : r PN (x) = 0 =) N = 0: a12 0 1.2.3 Matrice de Jordan Dé…nition1.26 : Une matrice de Jordan est une matrice par blocs de la

l’exponentielle d’une matrice. c) En utilisant la s´rie log(1 + x) = n∈N (−1) xn+1 , montrer que Id +N peut e n+1 s’´crire comme l’exponentielle d’une matrice si N est nilpotente. e d) En utilisant la d´composition de Jordan (toute matrice de Mn (C) peut e s’´crire comme la somme d’une matrice diagonalisable et d’une matrice e nilpotente qui commutent), d´duire de b) et c) que l’application expoe nentielle est surjective sur GLn (C). e) L’application exponentielle de Mn (C) sur GLn (C) est-elle injective

sent´ es. e e 4.3.1 M´ ethode des s´ eries Il suffit pour cette m´ thode d’utiliser le d´ veloppement en s´ rie donn´ e en (4.5). Lorsque le calcul est effectu´ e e e e e manuellement, cette m´ thode n’est envisageable que pour des matrices nilpotentes c’est-` -dire des matrices pour e a lesquelles il existe un k fini tel que Al = 0 quel que soit l sup´ rieur a k. e ` En revanche, il est tout a fait raisonnable d’utiliser cette technique lorsque le calcul est effectu´ num´ riquement, le ` e e d´

−1 29 an = 1E − a . a ` ce passe dans C, la s´rie g´ e e e z Remarques : 1) Contrairement = M qui semuni d’une norme d’alg`breom´trique peut converger pour N (a) 1. Par exemple, pour E (K) e quelconque et a une matrice n 0 n=0 nilpotente non nulle quelconque, la s´rie ( (λa0 )n )n∈N converge pour tout λ alors qu’on peut choisir λ e pour que la norme de λa0 soit sup´rieure a 1. e ` 2) 1E − a peut ˆtre inversible sans que la s´rie ( an )n∈N converge. C’est, par exemple, le cas dans

⎛ 1 n n(n+1) 2 An = ⎝ 0 1 n ⎠. 0 0 1 On vérifie que ça marche avec n = 1. La formule est valable aussi avec n = 0. Remarque. Une matrice N telle que N k = On pour quelque k est une matrice nilpotente. Une matrice triangulaire dont tous les éléments de la diagonale sont nuls est toujours une matrice nilpotente. Application à l’étude de suites un vn , avec n ∈ N. On suppose qu’il existe A ∈ M3 (R) wn telle que ∀n ∈ N, Xn+1 = AXn . On montre alors, par récurrence : ∀n ∈ N, Xn = An X0 . Et le calcul

diagonalisable ? 4. Soit A et B deux éléments de Mn (R) tels que AB − BA = A. L’objectif de l’exercice est de démontrer que A est nilpotente c’est à dire que : ∃k ∈ N∗ / Ak = Θ Soit ψ l’application définie sur Mn (R) par : ∀M ∈ Mn (R), ψ(M ) = M B − BM . (a) Montrer que ψ est un endomorphisme de Mn (R). (b) Démontrer que : ∀k ∈ N, ψ(Ak ) = kAk . (c) On suppose que A n’est pas nilpotente. Que peut-on dire du spectre de ψ ? Conclure. 5. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Soit u canonique de Rn est donnée

anae logues pour les matrices triangulaires inf´rieures. e Proposition : Une matrice triangulaire strictement sup´rieure T (dont les e ´l´ments diagonaux sont nuls) de dimensions n × n est telle que : T n = 0 (on ee dit qu’une telle matrice est ”nilpotente ”). La preuve g´n´rale d´coule tr`s simplement du th´or`me de Cayley-Hamilton e e e e e e (voir plus loin en (89)) 1.5 Noyaux, images et rang Il existe une identit´ importante, que nous emploierons ` plusieurs reprises, e a qui permet de