Nombre premier

On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est souvent noté r). 2°) Exemple : Suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 3 : 2 5 8 11 14 17 etc. 3°) Notations possibles : Sionnoteu0lepremierterme,on a:u0 =2,u1 =5,u2=8,etc.et,danscecas,un estle (n + 1)ème terme. Sionnoteu1lepremierterme,on a:u1 =2,u2 =5,u3=8,etc.et,danscecas,un estle nème terme. Dans

dit que le produit infini ni{), li>U, . de terme général si la suite (P,, ),,>,,,, converge vers +Ur fini non nul. On notera alors nlt, sa limite. ,,=,/, Si la suite (P,, ),,>,,,, n’admet pas de limite finie ou si elle converge un nombre rI zt,, diverge. ,i>li,, vers 0 on dit que le produit 1. Généralités et exemples P )i+l. montrer que. pour que le produit 4, que la suite (ioz ),,20 converge vers 1. le quotient infini ni,, Il>o converge, il est 1. En considérant nécessaire

numérique (Un), c'est associer à chaque entier naturel n, un nombre réel Un. On étudie tout particulièrement les suites de base que sont les suites arithmétiques et géométriques car leurs applications économiques sont nombreuses : progression d'une population à taux constant, valeur acquise d'un placement à intérêts simples ou à intérêts composés pour une période donnée, etc. Des formules permettent de calculer directement la somme de leurs premiers termes. 1 1. Par quelles méthodes engendrer une

(u ). - Une suite u dénie pour tout entier naturel n n est notée (u ) . Remarques : 1. Lorsqu'une suite est dénie pour tous les entiers naturels supérieurs à un certain entier n , on dite que la suite est dénie à partir du rang n . 2. Le premier terme d'une suite u, appelé ausi terme initial, est u lorsque la suite u est dénie sur N et u lorsque la suite u est dénie à partir du rang n . 3. Les résultats énoncés dans le cours, donnés dans le cas général d'une suite (u ) dénie sur N,

RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE Exemple 1 On considère la proposition P(n) dépendant d'un entier n : « 10n - (-1)n est un multiple de 11 » (On rappelle qu'un nombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 x k avec k ∈ ZZ ) Vérifions que cette proposition est vraie pour les entiers n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Pour n = 0 : 10n - (-1)n = 100 - (-1)0 = 1 - 1 = 0 = 11 x 0 Pour n = 1 : 10n - (-1)n = 101 - (-1)1 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11 = 11 x 1 Pour n = 2 : 10n - (-1)n = 102 - (-1)2 = 100 - 1 = 99

2) Vocabulaire Si b est un diviseur de a , on peut aussi dire que : b divise a a est divisible par b a est un multiple de b 3) Remarque Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres entiers Un nombre entier positif non nul est toujours divisibles par lui-même. B) PGCD 1) PGCD Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. 2) Méthode de calcul du PGCD a) La méthode des listes Exemple avec 4 et 12 : 4= 1x4 12=1x12 4=2x2 12=2x6 Les diviseurs de 4 : 1

EC1 Devoir Maison N°2 pour le 13 octobre 2011 Exercice Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme Pn par : Pn = ou si on note [n/2] la partie entière de n/2 : [n / 2] n +1  2 k n−2k (−1) k   2k + 1(1 − X ) X  0≤ 2 k ≤ n   ∑ Pn = 1. Vérifier que P0 = 1 ; P1 = 2X ; P2 = 4 X2 – 1 2. Montrer que ∀ n ∈ N, Pn (-X) = (-1)n Pn(X) . ∑ (−1) k =0 k n +1  2 k n −2k   2k + 1(1 − X ) X    et calculer P3. 3. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour

Analyse - chapitre 2 Page 1/3 Présentation des suites et récurrence Notion de suite : Une suite réelle est une application de N (ou parfois de N∗ ) à valeurs dans R. La suite N −→ R est notée de plusieurs façons : n −→ un (un )n∈N I , (un ) ou parfois u Suites arithmétiques et géométriques Soit n ∈ N∗ et q ∈ R\{1}. Alors 1 + 2 + 3 + ... + n = ...... ...... 1 + q + q2 + q3 + . . . + qn = ...... Suite arithmétique de raison r dénition par une relation de récurrence ..

appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10. Exercice 2 Soit la suite définie par et pour tout nombre entier naturel n, par . Si f est la fonction définie sur l'intervalle par : , alors on a, pour tout nombre entier naturel n, . On donne sur la figure

définie par récurrenceOn définit une suite par récurrence en indiquant son premier terme et une méthode de calcul d'un terme en fonction du précédent. Exemple Soit g la fonction définie par . On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et un+1 = g(un). On a alors : , , , etc... Remarque On ne peut calculer un terme que si on connaît le précédent, mais de proche en proche on peut calculer tous les termes en partant du premier. Suites croissantes et décroissantesUne suite (un) est strictement