Nombre premier

CHAPITRE 1 LES ENSEMBLES 1.1. Introduction De nombreux problèmes mathématiques ne concernent que des objets pris individuellement. Par exemple, la question « le nombre entier 211 −1 est-il premier ou non ? » porte sur le nombre 211 −1, qui semble être, d’un point de vue intuitif, un objet « atomique » des mathématiques. Il existe cependant beaucoup d’autres situations dans lesquelles il est important de pouvoir considérer un regroupement d’objets mathématiques sans avoir à nommer spécifiquement

qu’il existe deux suites géométriques vérifiant ces conditions. Exercice 4 b. u25 = u11 × . . . d. u15 = u23 × . . . b. u57 = u38 + . . . d. u23 = u38 + . . . €Š €Š 1. Soit un €Š n∈N une suite arithmétique de premier terme 2 1 2 a. Calculer la somme des 13 premiers termes de un : S = u0 + u1 + · · · + u11 + u12 et de raison b. Calculer la somme des termes de un allant de u5 à u20 : S ′ = u5 + u6 + · · · + u19 + u20 2. On considère les deux sommes suivantes : 5 11 S1 = 1 + + 4 + + ·

Résoudre dans R l’inéquation (I4) : 25 x2 − 16 < 1 BAREME PROBABLE : I) 1,5pts II) 3,5pts III) 3pts IV) 6pts V) 6pts 2K DS de mathématiques 1h 17IX07 calculatrice autorisée I) Pour chacun des nombres ci-dessous, donner le plus petit ensemble de nombres auquel il appartient. A = 1,6 × 10 5 1 B= 0,25 6  D= 3+  3  8 C=− 5 2 1620 + 3 × 280 II) 1) Calculer : E = 4 2 × 64 × 412 (2 a−4 b3)3 × (5 a−2 b)−2 2) a et b étant deux réels non nuls

Introduction Exercice/TP I. Généralités sur les suites 1) Notion de suite Définition : Soit n un entier naturel (positif ou nul). A chaque entier n, on associe un nombre réel u n . On dit que l'ensemble des nombres u n forme la suite de terme général u n . Notation : On note cette suite (u n ) . 2) Génération d'une suite  • Une suite peut être définie par une formule explicite au moyen d'une fonction qui permet de calculer directement chaque terme d'indice n : le terme général est donné en fonction

1 Pb 11 08-02-2011 D´veloppements limit´s et d´nombrement e e e Enonc´ tir´ d’un vieil ´crit (E.N.S.A.M. + E.S.T.P. ) e e e question de cours donner le d´veloppement limit´ ` l’ordre n au voisinage de 0 de (1 − t)−3 : e ea • les cinq premiers coefficients seront fournis explicitement • le n-i`me sous forme symbolique aussi simple que possible ... e • ... puis sous forme d´velopp´e e e Ci dessous n ∈ N, on pose Pn (X) = (1 + X + X2 + ... + Xn−1 + Xn )3 2 a b c d un petit exemple :

économique... au sein d'un problème. Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence, on trace au préalable : la courbe représentative de la fonction f  qui définit la récurrence ; la droite d'équation y=x  . Puis : a. On place le premier terme de la suite sur l'axe des abscisses : u 0   ici. b. On place u 1   sur l'axe des ordonnées en traçant l'image de u 0   par f  , car u 1 =f(u 0 )  . c. On reporte enfin u 1   sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x 

Calculatrice interdite. Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix. Décembre 2009 Exercice 1 – 5 points Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11. Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42 Exercice 3 [France 2009, 10 points] Corrigé du test n°2 Exercice 1 – 5 points 8 ≡ 8 (11) 1. Nous savons que 82 ≡ −2 (11) , 83 ≡ 6

derniers jours). Ceci augmente avec l’âge, et tend à se stabiliser après l’adolescence. Enfin la filière alcool représente un poids économique important, avec près de 500 000 emplois directs ou indirects en France. Ainsi la France est un des premiers pays exportateurs de boissons alcoolisées et se trouve au 4ème rang européen pour la consommation d’alcool. Nous allons montrer que l’alcoolisme est un phénomène social, qui a un impact non négligeable sur la santé de l’ensemble de la population

le classement des boissons en fonction du nombre de leurs consommateurs au cours du mois, montre que les bières et les prémix sont les boissons les plus populaires avec 57 % et 48 % de consommateurs, devant les alcools forts (43 %) puis les champagnes et vins mousseux, les cocktails et le vin qui arrive en sixième position (28 %). Les hiérarchies des préférences des garçons et des filles sont proches, mais se distinguent notamment pour les trois premiers choix, aussi bien en termes de produits que

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) 9 . 6−x U0 = −3 . Un+1 = f (Un ) On considère la fonc tion f définie sur ] − 1; 6[ par f (x) = On définit pour tout entier naturel n la suite (Un ) par 1. La courbe représentative de la fonction f est donnée en annexe accompagnée de la droite d’équation y = x. Construire sur ce graphique les points M0 (U0 ; 0), M1 (U1 ; 0), M2 (U2 ; 0), M3 (U3 ; 0) et M4 (U4 ; 0). Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et