Nombre premier

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur

l’orthocentre aux sommets du triangle sont situés sur un même cercle. Ce cercle des neuf points est appelé « cercle d’Euler ». [pic] - le calcul infinitésimal : Avec l’influence de la famille Bernoulli, Euler s’est intéressé aux nombres infiniment petits. Nous venons de commencer l’étude des fractions. Voici une égalité avec des fractions qu’Euler a écrite : [pic] - la théorie des graphes : Euler a su résoudre le problème des 7 ponts de la ville de Königsberg

ou géométriques, préciser le premier terme et la raison. 1) un+1 = un + 1 et u0 = -5 2) un = n – 5 1 3) un = n 3 52n+1 4) un = 2× 3(n+1) 7 Exercice 2 : étude d'une suite du type un+1 = a×un + b × Soit la suite (un) définie par u1 = 2 et, pour tout entier n de un+1 = 3un – 2. On considère la suite (vn) définie sur V* par vn = un + α (avec α ∈ Y). 1) Déterminer α pour que (vn) soit une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme. 2) Ecrire vn, puis un en

sur I, alors f est décroissante sur I. si f′ est nulle sur I, alors f est constante sur I. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I : si f′ est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I. si f′ est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I. BLes extremum locaux d'une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I : si f admet un extremum local

EXERCICES : Chapitre « Suites arithmétiques et géométriques » Exercice n°1 Pour chacune des suites suivantes, calculer les quatre premiers termes : a. un = 2n – 7 b. un = – 3n + 4 c. un = n2 – 5 d. un = n – 2 n Exercice n°2 Pour chacune des suites suivantes, calculer u1, u2 et u3. a. { u0 = – 2 un + 1 = un + 3 b. { u0 = 1 un + 1 = 2un + 3 c. { u0 = 0 un + 1 = un 2 – 1 Exercice n°3 On considère la suite définie sur V par : vn = – 3n + 4. Ecrire en fonction de n :

c’est dire qu’il existe un réel tel que pour tout : Propriétés Si Si Si est une suite arithmétique de premier terme est une suite arithmétique de est une suite arithmétique de alors pour tout : : . . alors pour tous entiers naturels alors . . Exemple :    est une suite arithmétique de premier terme . Calcul de ; Expression du ; Calcul de la somme des 50 premiers termes de la suite. 2. Suites géométriques Définition Dire qu’une suite . est une suite géométrique, c’est

connaissances Voir le cours pour les détails, voici la démarche : b b b 5 points Par linéarité de l’intégrale (second rappel) : Or, pour tout x de [a ; b], f (x) Partie B 1. a f (x) dx a g (x) dx ⇐⇒ g (x), donc f − g 0 et le premier rappel assure le résultat. a ( f − g )(x) dx 0. a. f est la composée de la fonction x −→ −x 2 , décroissante sur [0 ; 1], suivie de la fonction exponentielle croissante sur R. f est donc décroissante sur [0 ; 1]. On peut bien sur argumenter

55 ( ) 3 6 − 1 = 55 3 ( ) 3 7 −1 − 1. Or 7 est un nombre premier qui ne divise pas 55 , alors, d’après le petit théorème de Fermat, 55 ( ) 3 7 −1 ≡ 1 [ 7] . On en déduit que 55 Par conséquent, 5750 − 1 = 55 ( ) ( ) 3 7 −1 −1≡ 0 [7] . 3 7 −1 − 1 est divisible par 7. La proposition 3 est donc vraie. Petit théorème de Fermat : Soit n un entier. Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n p −1 ≡ 1 [ p ] . 4) Cherchons le PGCD de 4n

Etudier les deux suites un = ∑nk=0 k!1 et vn = un + n.n! . Correction [005237] Exercice 19 √ √ Etudier les deux suites un = ∑nk=1 √1k − 2 n + 1 et vn = ∑nk=1 √1k − 2 n. Correction [005238] Exercice 20 **T Déterminer un en fonction de n et de ses premiers termes dans chacun des cas suivants : 1. ∀n ∈ N, 4un+2 = 4un+1 + 3un . 2. ∀n ∈ N, 4un+2 = un . 3. ∀n ∈ N, 4un+2 = 4un+1 + 3un + 12. 4. ∀n ∈ N, 2 un+2 = 1 un+1 − u1n . 3 5. ∀n 2, un = 3un−1 − 2un−2 + n3 . 6. ∀n ∈ N, un+3 − 6un+2 + 11un+1 −

PGCD de deux entiers relatifs non nuls A) Définition Pour tout entier relatif non nul a, on note D(a) l’ensemble des diviseurs de a. D(a) est un ensemble fini non vide : il est non vide car il contient les nombres -1 et 1 ; il contient un nombre fini d’éléments car un diviseur b de a est un nombre qui vérifie 1 ≤ ≤ Exemple : D(12)={-12 ;-6 ; -4 ;-3 ;-2 ;-1 ; 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12} D(30)={-30 ; -15 ;-10 ;-6 ;-5 ;-3 ;-2 ;-1 ;1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;10 ;15 ;30} Notons D(12 ;30) l’ensemble des diviseurs communs à 12