Nombre premier

ascendante Au bout de 6 secondes, la balle sera à une distance de 84 mètres par rapport au sol 2°) En considérant les nombres réels, on peut considérer que : A. B. C. D. Il y a un nombre défini de nombres premiers Par définition, tous les nombres premiers sont impairs La multiplication par un nombre premier donne toujours un produit impair Il n’existe pas de nombres premiers pairs 3°) 40% des effectifs de l’entreprise Apié viennent en voiture le matin. Parmi eux, 30% ont une voiture rouge, 20%

EXERCICE 1 : ( 5 pts) 1) Montrer que la suite définie sur ℕ par v n=8 n8 n1 est géométrique. 2) Soit t n  la suite arithmétique, définie sur ℕ , de raison 5 et de premier terme t 0 =– 8 . a) Calculer t 10 et t 20 . b) Calculer t 10 + t 11 + .......... + t 20 . 3) Soit w n  la suite géométrique, définie sur ℕ * , de raison 3 et de premier terme w1=– 2 . a) Calculer w5 . b) Calculer w5 + w6 + ......... + w16 . EXERCICE 2 : ( 4,5 pts) Une association caritative a constaté que, chaque année, 20 % des

Soit (Un) la suite définie par U0 = 10 et pour tout entier naturel n :  Un+1 = 0.9Un+1,2  On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n , par Vn=Un-12  a) Démontrez que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.  Vn+1 = Un+1 - 12 = 0.9Un + 1.2 - 12 = 0.9Un-10.8 = 0.9(Un-12) = 0.9Vn  q=0.9  V0=-2  b) Exprimez pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.  Vn=-2*(0.9)^n  c) En déduire que, pour tout entier naturel n, Un=

distincts du plan d’affixes m, n et p . p−m − → −→ − − d´montrer que: arg( e ) = (M N ; M P )[2π] n−m p−m 2) interp´ter g´om´triquement : e e e n−m 3) en d´duire l’´criture complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe ω et e e d’angle de mesure θ (θ ´tant un nombre r´el) e e 4)dans cette question on prend : m = 1 et n = i d´terminer p pour que le triangle M N P soit ´quilat´ral de sens direct e e e exercice 2 : (5 points) pour tout entier n strictement positif, on consid`re la fonction fn d´finie sur e e (ln

courbes ci-contre, laquelle est la seule susceptible de représenter f ? la courbe 4 4 ) Contre-exemple …Démontrer que la propriété suivante est fausse : « Pour tout entier naturel n , n 2 – 36 n + 315 est un nombre premier » 10 2 – 36× 10 + 315 = 100 – 360 +315 = 55 et 55 n’est pas un nombre premier ! 

Relations binaires Dénombrement & Dénombrabilité Chapitre 2 : Structures algébriques     Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié

) est divisible par 3. 2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 : 1 max(x, y) = (x + y + |x − y|). 2 Développement Résolutions. 1. 1er cas a ou b est multiple de 3. Si 3 | a alors 3 | ab(a2 − b2 ) et si 3 | b alors 3 | ab(a2 − b2 ). Dans ce premier cas, l’assertion eset vraie. 2e cas a et b ne sont pas multiples de 3. Tout entier naturel s’écrit sous la forme 3k, 3k + 1, 3k + 2 où k ∈ N. Comme a et b ne sont pas multiples de 3, ils s’écrivent sous la forme 3k + 1 ou 3k − 1 (qui revient à

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 Nombres complexes 7.1 Généralités . . . . . . . . . 7.2 Conjugué et module . . . . 7.3 Équations du second degré . 7.4 Propriétés géométriques . . 7.5 Exponentielle complexe . . 7.6 Cercles et rotations . . . . 7.7 Exercices . . . . . . . . . . 8 Logarithme

brillantes, des points de vue ingénieux et de magnifiques observations. Nous espérons aussi que nos lecteurs ne nous tiendront pas rigueur des imperfections de notre exposé. La sélection est essentiellement due à Paul Erd˝ s lui-même. Il a suggéré un grand nombre de sujets, o plusieurs preuves lui reviennent directement, d’autres ont été amorcées par la bonne question ou la bonne conjecture qu’il a su proposer. On peut donc considérer que, dans une grande mesure, cet ouvrage reflète le point de vue de Paul

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel