Nombres premiers jumeaux

RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE Exemple 1 On considère la proposition P(n) dépendant d'un entier n : « 10n - (-1)n est un multiple de 11 » (On rappelle qu'un nombre est multiple de 11 lorsqu'il s'écrit sous la forme 11 x k avec k ∈ ZZ ) Vérifions que cette proposition est vraie pour les entiers n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Pour n = 0 : 10n - (-1)n = 100 - (-1)0 = 1 - 1 = 0 = 11 x 0 Pour n = 1 : 10n - (-1)n = 101 - (-1)1 = 10 - (-1) = 10 + 1 = 11 = 11 x 1 Pour n = 2 : 10n - (-1)n = 102 - (-1)2 = 100 - 1 = 99

x 3 = 18 9 + ……... x 3 = 33 30 - ….…. x 5 = 15 Exercice 4 : Amélie dépense 24,7 € pour acheter 5 cahiers à 3,44 € l’un et des paquets de grandes feuilles perforées à 1,25 € le paquet. Ecrire en une seule expression le nombre de paquets qu’Amélie a achetés puis calculer ce nombre. Exercice 5 : Un fleuriste compose 12 bouquets contenant chacun 6 roses à 1,10$ pièce et 4 tulipes à 0,9$ pièce. Calculer de 2 façons différentes le prix de 12 bouquets. Exercice 6 : Quatre amis ont gagné ensemble

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) 9 . 6−x U0 = −3 . Un+1 = f (Un ) On considère la fonc tion f définie sur ] − 1; 6[ par f (x) = On définit pour tout entier naturel n la suite (Un ) par 1. La courbe représentative de la fonction f est donnée en annexe accompagnée de la droite d’équation y = x. Construire sur ce graphique les points M0 (U0 ; 0), M1 (U1 ; 0), M2 (U2 ; 0), M3 (U3 ; 0) et M4 (U4 ; 0). Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme général. - Écrire le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique définie par son premier terme et sa raison. Calculer avec la calculatrice ou le tableur la somme de n termes consécutifs (ou des n premiers termes) d’une suite arithmétique ou géométrique. Pour les suites géométriques, on se limite aux suites à termes strictement positifs. Pour certaines résolutions, le tableur est indispensable

3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Argument et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Nombres complexes

Somme des n premiers termes Cas particulier : La somme des n premiers entiers naturels non nuls est égale à n(n + 1)/2 III. Suites géométriques 1. Définition Définition : Une suite (un) est géométrique si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, un+1 = q.Un. q est appelé raison de la suite. 2. Calcul de un Théorème : Si (un) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous les entiers naturels n et p : un = Uo.q^n et un = Up.q^n-p 3. Somme des n premiers termes

plupart des erreurs de raisonnement usuelles) de premier cycle d’études. Par suite, il ne faudra pas hésiter à le relire et le réapprendre de nombreuses fois, quand plusieurs chapitres auront défilé et que vous aurez gagné en maturité. Vous devrez chercher à en cerner l’aspect pratique et en particulier à bien maîtriser les quelques exercices corrigés. Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions apparaissant dans les trois premiers chapitres (logique, ensembles et applications

somme des termes de la suite entre le p-ième et le q-ième il faudra utiliser la fonction f dans une première boucle qui permettra de calculer successivement U(1), U(2), U(3)....et enfin U(p), le premier terme de la somme cherchée.Il faudra déclarer une nouvelle variable U qui sera initialisée, avec le premier terme de la suite.Ensuite une seconde boucle permet de calculer S. La partie 1 est donc légèrement modifiée et devient : 1bis - déclaration des variables La partie 2 est aussi légèrement

qu’il existe deux suites géométriques vérifiant ces conditions. Exercice 4 b. u25 = u11 × . . . d. u15 = u23 × . . . b. u57 = u38 + . . . d. u23 = u38 + . . . €Š €Š 1. Soit un €Š n∈N une suite arithmétique de premier terme 2 1 2 a. Calculer la somme des 13 premiers termes de un : S = u0 + u1 + · · · + u11 + u12 et de raison b. Calculer la somme des termes de un allant de u5 à u20 : S ′ = u5 + u6 + · · · + u19 + u20 2. On considère les deux sommes suivantes : 5 11 S1 = 1 + + 4 + + ·

Somme des n premiers entiers.  Chacun peut savoir que la somme des cinq premiers entiers naturels  1 + 2 +3 + 4 + 5  est égale à 15. Elle est assez facile à calculer. Par contre, calculer la somme des 50 ou même 2000 premiers entiers naturels est un défi d'un tout autre calibre. En fait, pas tant que cela car il existe une formule générale permettant de calculer cette somme des n premiers entiers. C'est l'objet de ce paragraphe. Pour tout entier n, on appelle Sn la somme des n premiers entiers.