Nombres premiers jumeaux

au latin) des arithmétiques de Diophante, au regard d'un problème ayant trait aux triplets pythagoriciens. En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, le dernier théorème de Fermat, ou grand théorème de Fermat, ou depuis sa démonstration théorème de Fermat-Wiles, s'énonce comme ceci: Théorème 1 — Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que: xn+ yn= zn,dès que n est un entier strictement supérieur à 2. Énoncé par Pierre de Fermat d'une manière similaire, il a

économique... au sein d'un problème. Pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence, on trace au préalable : la courbe représentative de la fonction f  qui définit la récurrence ; la droite d'équation y=x  . Puis : a. On place le premier terme de la suite sur l'axe des abscisses : u 0   ici. b. On place u 1   sur l'axe des ordonnées en traçant l'image de u 0   par f  , car u 1 =f(u 0 )  . c. On reporte enfin u 1   sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x 

affecter son nom écrit entre deux accents aigus : > nom:='nom':nom; On peut aussi utiliser la fonction evaln (évaluer en un nom) : > var:=evaln(var):var; LES CONSTANTES: true , false (valeurs booléennes vrai , faux) , I (complexe de carré -1) , Pi (nombre pi) , infinity (plus l'infini) sont des constantes MAPLE. E (base des logarithmes népériens) n'est pas une constante MAPLE : faire exp(1). > eval(exp(1))=evalf(exp(1)); LES EXPRESSIONS: Elles sont évaluées de la gauche vers la droite , avec la priorité

disp(f(a)); x=-a : 0.01 :a ; y=f(x); plot(x,y); 2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle l’ordinateur renvoie la valeur 4 ? Préciser. Exercice 2. On se donne A, B et C trois ensembles ayant un nombre fini d’éléments. On note Car d le nombre d’éléments d’un ensemble fini (ainsi, Car d(A) est le nombre d’éléments de l’ensemble A, si A a m éléments, on écrira Car d(A) = m.) On rappelle la propriété suivante : ∀(A, B) ∈ P (E)2 , A ∩ B = ⇒ Car d(A ∪ B) = Car d(A) + Car d(B). Montrer les propriétés

trouver le plus grand diviseur commun `a deux entiers. Mais le mot ”algorithme” vient du nom du c´el`ebre math´ematicien perse Al Khuwaritzmi (latinis´e au Moyen- Age en Algoritmi) qui au IXe si`ecle, ´ecrivit le premier ouvrage sur la r´esolution syst´ematique des ´equations du premier et deuxi`eme degr´e. 2. De l’agorithme `a sa programmation L’int´erˆet majeur qu’il y a `a disposer d’algorithme de r´esolution de probl`eme est de permettre l’automatisation : on peut d´el´eguer `a une machine l’ex´ecution

conclusion la propriété est héréditaire pour tout n et est vraie pour n=0 , elle est donc vraie pour tout n. Exercice n°2. u est la suite définie par u0 = 0 et pour tout nombre entier naturel n, u n + 1 = un + 2(n + 1). 1. Calculer u1 et u2. u 1=0+ 2×1=2 et u 2=2+2×2=6 2. On considère l'algorithme suivant : Entrée : Saisir N (nombre entier naturel non nul) Initialisation : U prend la valeur 0 Traitement : Pour K de 0 jusqu'à N – 1 U prend la valeur U + 2(K + 1) FinPour V prend la valeur U – N Sorties :

MULTIPLICATIVES Exercice n°2 : 1) La liste des nombres considérée est 38 ; 38 + 17 ; 38 + 27 ; ……; 38 + k7 (avec k entier naturel) ; … Or 38 + 7k  365, d'où 7k  327, et donc k  46,7…… La plus grande valeur pour k est donc 46, et le plus grand nombre de la liste est donc 38 + (746) = 360. De 38 + (70) à 38 + (746), il y a 47 nombres (k prend les valeurs 0 , 1 , 2 , ……, , 46). 2) 38 + (746) = 360, 38 + (747) = 367 donc tant que l'on choisit un nombre supérieur à 360 et inférieur ou égal à

c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible

Exercice Partie A On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12. Le point An +1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3). 1) Sur un graphique, placer les points A1, B1, A2, B2. 2) On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn. 2a + bn . Montrer

dit que le produit infini ni{), li>U, . de terme général si la suite (P,, ),,>,,,, converge vers +Ur fini non nul. On notera alors nlt, sa limite. ,,=,/, Si la suite (P,, ),,>,,,, n’admet pas de limite finie ou si elle converge un nombre rI zt,, diverge. ,i>li,, vers 0 on dit que le produit 1. Généralités et exemples P )i+l. montrer que. pour que le produit 4, que la suite (ioz ),,20 converge vers 1. le quotient infini ni,, Il>o converge, il est 1. En considérant nécessaire