Plongement

individuelle ne peut pas être conçue comme la restriction d’une psychologie collective — mathématiquement parlant, on se trouverait dans la situation de devoir identifier purement et simplement un élément a avec le singleton {a} ! . Les constructions par plongement (ou immersion) de structures en théorie des ensembles offrent une excellente analogie. On sait qu’il est assez facile de construire formellement des objets correspondant aux entiers intuitifs (méthodes de PEANO ou de ZERMELO par exemple). Par contre

individuelle ne peut pas être conçue comme la restriction d’une psychologie collective — mathématiquement parlant, on se trouverait dans la situation de devoir identifier purement et simplement un élément a avec le singleton {a} ! . Les constructions par plongement (ou immersion) de structures en théorie des ensembles offrent une excellente analogie. On sait qu’il est assez facile de construire formellement des objets correspondant aux entiers intuitifs (méthodes de PEANO ou de ZERMELO par exemple). Par contre

Notion de surface En mathématiques, une surface dans un espace de dimension est un ensemble de points de cet espace décrit par un système de ( ) équations à variables. Une surface peut aussi être définie de manière intrinsèque, c'est-à-dire sans plongement dans un espace de dimension . Une surface est alors une variété de dimension 2, c'est-à-dire un ensemble tel que localement tout voisinage soit homéomorphe à un voisinage du plan. Cette méthode permet, par exemple, de définir le demi-plan de Poincaré

Continuité automatique P 2.5 Norme d’une application linéaire continue P 2.6 P 2.7 P 2.8 Caractère complet de l’espace des opérateurs Complétude automatique d’un dual Sous-espaces complémentés et projections P 2.9 P 2.10 Espace-quotient Plongement isométrique dans le bidual Dual de p P 2.11 P 2.12 Théorème de Baire Tout espace métrique (E, d) complet est « non maigre » ou [(E, d) complet, Ωn , n ∈ N, ouverts denses dans E] ⇒ [∩(Ωn , n ∈ N) est dense dans E] ou [(E, d) espace

compl´t´ de (X, d). e e ee Preuve : 1) Unicit´ : Supposons que (X, d) soit un sous-espace dense de e ˜ ˜ ˜ ˜ deux espaces m´triques (X1 , d1 ) (X2 , d2 ) dont les distances d1 et d2 prolongent e ˜ 2 , d2 ) est une isom´trie. En particulier elle d. Le plongement i2 : (X, d) → (X ˜ e ˜ ˜ est uniform´ment continue tandis que X est dense dans (X1 , d1 ) et tandis que e ˜ ˜ (X2 , d2 ) est complet. Elle se prolonge donc de fa¸on unique en une isom´trie de c e ˜ ˜ 1 , d1 ) → (X2 , d2). De mˆme l’isom´trie i1

blanc sera discontinue (en fait continue par morceaux) les zones de discontinuit´ etant par e´ essence les contours. Au premier ordre on peut calculer en chaque point M (x, y), le gradient de l’image : f (x, y) = ( ∂f ∂f , ). ∂x ∂y Grˆ ce au plongement dans l’espace continu, un grand nombre d’op´ rations d’analyse peuvent a e s’exprimer en termes d’´ quations aux d´ riv´ es partielles. Ceci permet de donner un fondement e e e math´ matique satisfaisant aux traitements et aussi de fournir des m´

(x)φ(x)dx , Observons que, pour tout compact K ⊂ Ω et pour toute fonction φ ∈ C ∞ (Ω) a ` support dans K, on a | Tf , φ | ≤ CK sup |φ(x)| , x∈K avec CK = K |f (x)|dx . Donc Tf est une distribution d’ordre 0 sur Ω. Proposition 3.2.3 (Plongement de L1 (Ω) dans D (Ω)) L’application lin´e loc aire L1 (Ω) f → Tf ∈ D (Ω) est injective. loc Convention. Dor´navant, nous identifierons donc toute fonction f localement e int´grable sur Ω avec la distribution Tf qu’elle d´finit sur Ω. e e D´monstration

∩ A = V . 2) (⇒) Pour tout a ∈ U , il existe r(a) > 0 tel que Bf (a, r(a))∩A ⊂ U . Posons O = Bo (a, r(a)): c’est un a∈U ouvert de E en tant que r´union d’ouverts et on a O∩A = e a∈U Bo (a, r(a))∩A ⊂ a∈U Bf (a, r(a))∩A ⊂ U e e e e plongement d’ tout z Remarque : Un th´or`me (assez difficile): le th´or`me deune partie A (et Arens-Fells montre que d’un ensemble muni d’une distance peut ˆtre consid´r´ comme e ee mˆme une partie ferm´e) e e espace vectoriel norm´ E munie de la distance induite

de reliefs particuliers (positifs et négatifs) ; 2. une activité magmatique importante ; 3. une déformation lithosphérique importante ; 4. une répartition particulière du flux de chaleur. – La distribution géométrique des séismes matérialise le plongement d’une portion rigide de lithosphère à l’intérieur du manteau plus chaud et ductile. – L’évolution de la lithosphère océanique qui s’éloigne de la dorsale s’accompagne d’une augmentation de sa densité, jusqu’à dépasser la densité de l’asthénosphère

moins rigide. Il s’agit ici de montrer aux élèves les données qui ont permis aux scientifiques de proposer une telle distinction. Les documents 1 et 2 apportent des arguments scientifiques qui ont amené à imaginer, dans les zones de subduction, le plongement d’une zone froide dans un manteau plus chaud. Le document 1 illustre l’importance de l’étude des ondes sismiques. Les élèves comprennent qu’un lien est établi entre la propagation des ondes sismiques dans les zones de subduction et la densité des