Polynôme constant

représenté comme suit. 1)Détermine en fonction de x l’expression C2 (x), longueur du côté [HE]. 2)Comment appelle-t-on ce polynôme C2(x). 3Donner deux exemple d’un polynôme du second degré b) En déduire la forme générale d’un polynôme du second degré. Activité 2 : Soit P(x) = ax2+bx+c, a ≠0, (b, c) € R2, un polynôme du second degré. Consigne1 1)Ecrire P(x) sous forme canonique. 2)On pose Δ = b2 – 4ac (le réel Δ s’appelle discriminant de P(x). a)Déterminer suivant le

fonction définie sur IR qui peut s’écrire sous la forme : : ⟼ ² avec , On dit que ² du second degré. et réels et 0. est un polynôme du second degré ou un trinôme Exemple : Soit , , et j les fonctions définies sur IR par : ², où, avec les notations de l’encadré précédent, une fonction polynôme du second degré. 3 ² – 5 2, 1 et est donc 0. où, avec les notations de l’encadré précédent, 3 , 5 et 2. 1 3 – ) On prouve en

61.10, i=1 pi = 34774, i=1 ti pi = 1454.91. Caculer la covariance entre la taille et la pointure. 21 Statistique descriptive - L1 MASS 2010-2011 - Hélène Boistard - www.boistard.fr Propriété 1. Changement d’échelle : soient a, b, c, d des constantes réelles. On a Cov(aX + b, cY + d) = acCov(X, Y ). Proposition 1. Expression de la variance d’une somme de variables : V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ). Proposition 2. Inégalité de Cauchy-Schwarz : |Cov(X, Y )| ≤ σX σY . 22 Exemple

Polynôme en une indéterminée || http://mpsiddl.free.fr || david Delaunay L’anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d’inconnues P ,Q ∈ K [X ] b) P P = P d’inconnue P ∈ K [X ] . Exercice 2 On définit une suite de polynôme (Pn ) par P0 = 2, P1 = X et ∀n ∈ ℕ, Pn + 2 = XPn +1 − Pn . a) Calculer P2 et P3 . Déterminer degré et coefficient dominant de Pn . b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et pour tout z ∈ ℂ∗ on a Pn (z + 1 z ) = z n + 1 z n . c) En déduire une

coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace de la matrice ?. Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V. I Une norme utile sur ℳ? (ℝ) I.A – Montrer que, pour tout polynôme ? ∈ ℂ[?], l’application ?? : ? ↦ ? (?) est une fonction continue de ℳ? (ℝ) dans ℳ? (ℂ). I.B – Montrer que l’application (?, ?) ↦ Tr( ?? × ?) est un produit scalaire sur l’espace ℳ? (ℝ). Dans toute la suite du problème, on note ‖ ⋅ ‖ la norme associée

Déterminer F′ ( x ) . Y a-t-il d’autres fonctions dont la dérivée soit aussi égale à F′ ( x ) ? Si oui, donner deux exemples. par F ( x ) = – x 4 + x 3 – 2x 2 + 3 . Solution F′ ( x ) = – 4x 3 + 3x 2 – 4x . On sait qu’une constante a une dérivée nulle. On peut donc remplacer la constante 3 par un autre nombre sans changer la dérivée. Appelons G et H deux fonctions répondant à la question. G ( x ) = – x 4 + x 3 – 2x 2 – 1 1 H ( x ) = – x 4 + x 3 – 2x 2 + -- . 2 On a bien F′ ( x ) = G′ ( x ) = H′ ( x )

2x 2 + 3 . ᕡ Déterminer ᕢY F′ ( x ) . a-t-il d’autres fonctions dont la dérivée soit aussi égale à F′ ( x ) ? Si oui, donner deux exemples. Solution ᕡ F′ ( x ) = – 4x 3 + 3x 2 – 4x . ᕢ On sait qu’une constante a une dérivée nulle. On peut donc remplacer la constante 3 par un autre nombre sans changer la dérivée. Appelons G et H deux fonctions répondant à la question. G ( x ) = – x 4 + x 3 – 2x 2 – 1 1 H ( x ) = – x 4 + x 3 – 2x 2 + -- . 2 On a bien F′ ( x ) = G′ ( x ) =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈

de u  U dans la base (E1, E2, E3, E4) a −b 0 0  b c 0 0  F 0 = U =  0 0 a −b  0 F 0 0 b c 2 2 d) Le polynome caract´ristique de U est : χU (x) = x2 − α2 x − β2 = (χF (x)) e pour tout entier n , si F n = αnF + βn I alors U n = αn U + βn I donc si P est un polynome , (P (U ) = 0) ⇔ (P (F ) = 0) Or une matrice carr´e est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynome scind´ a racines simples e e` Donc U est diagonalisable si et seulement si F est diagonalisable F est une matrice

deux autres). On suppose en outre que la loi physique étudiée peut s’exprimer sous la forme mathématique d’un produit. Il existe alors trois nombres réels α, β et γ ainsi qu’une constante sans dimension C tels que : a = C.xαyβzγ Par analyse dimensionnelle, on peut trouver les coefficients α, β et γ (mais pas la constante C !) T2 4π 2 ème Exemple : La 3 loi de Képler, s’écrit : 3 = que l’on peut écrire sous la forme : a G⋅MS T2 = 4π 2 3 − a = 4π 2 ⋅ a 3 ⋅ G −1 ⋅ M S 1 G⋅MS 3 −1 −1 − T = 4π 2